Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

6 elemű rabkereszt - Alapok

2011.01.30. 09:34 Gál Péter F.

Sokan járnak hozzám hasonlóan a 6 elmű rabkeresztekkel, kapnak egy nehezebb változatot és nem tudják megoldani. Van aki erre a falhoz vágja az egészet, van aki elfelejti, van aki emlékszik rá, de nem érdekli különösebben a kérdés. És van Bill Cutler, akinek szintén nem sikerült összerakni a keresztet, de ő a feladás helyett egy alapos vizsgálatba kezdett, ami minden idők egyik legnagyobb számítógépes elemzésévé nőtte ki magát. A híres-hírhedt matematikai probléma, a 4-szín sejtés számítógépes megoldása kb. 3 hónap gépidőt igényelt, ennek megbízhatóságát azóta is vitatják. Ehhez képest Cutler kutatása 10 évnyi(!!!) számítógép futást igényelt és összesen kb. 20 évig tartott. Az ő és néhány követője eredményeit felhasználva számtalan érdekes játék született azóta. Ebben a játékcsoportban ismerjük az abszolút rekordereket, tudjuk, melyek a legkönnyebb illetve a legnehezebb változatok.

A 6 elemű rabkeresztek kívülről hasonlónak tűnnek:

Minden kereszt hat darab négyzet keresztmetszetű rúdból áll, amik közül 2-2 közrefogja egymást. Az látható, hogy az egyes keresztek aránya különböző is lehet, van ahol hosszabbak a rudak. De vajon van ennek funkcionális jelentősége? Vagy „csak” design? Később látni fogjuk, hogy bizonyos esetekben nagyonis számíthat az elemek hossza.

Elsőre paradoxonnak tűnhet e játék formája. Hogy hatolhatnak át egymáson az elemek? Hogyan lehetséges egyáltalán egy ilyet keresztet összerakni, szétszedni? És egyáltalán milyen alakja lehet az elemeknek?

Minden 6 elemű rabkereszt közepe olyan, mint a fenti ábra bal felső keresztje. A hosszabb rudas változatok elképzelhetők úgy, mintha az ilyen alapkereszt elemei lennének meghosszabbítva. Így Bill Cutler először ezt az alapkeresztet vizsgálta. Ennek elemei 6×2×2-es téglatestek, amikből bizonyos helyeken eltávolítottak egységnyi kockákat. A következő ábrán láthatók azok a helyek, ahonnan a kis kockák kivághatók:

Mivel egy rúdból 12 kis kocka eltávolítására van lehsetőség, ezért elvben 212 vagyis 4096 féle elem képzelhető el. Minden kereszt 6 elemet tartalmaz, amik között lehetnek egyformák is. Így első becslésként azt kapjuk, hogy a lehetséges keresztek száma  40966=4722366482869645213696, ami azért elég sok. Ennyi eset teljes vizsgálata reménytelen vállalkozás.

Szerencsére erősen lecsökkenthető a ténylegesen fontos esetek száma. Ha pl. eltávolítjuk a 3-as, 7-es, 10-es és a 12-es kockát, az elem két darabra esik szét, ami nyilván nem lehetséges. Még összefüggő elem is 2225 fajta létezik. Szerencsére ez a szám tovább csökkenthető. Ha pl. minden kis kockát eltávolítunk, csak a 11-est és a 12-est hagyjuk meg, ugyanazt kapjuk, mintha a 9-est és a 10-est hagynánk meg, csak elforgatva:

Cutler kiderítette, hogy összesen 837-féle ténylegesen különböző elem létezik. Még a 8376= 343837110082320009 is hatalmas szám, további elméleti megfontolásokra is szükség volt.

Egy elem súlyának a 12 kis kocka közül megmaradók számát nevezzük. Tehát a tömör rúd súlya 12, a legkönnyebbé, a 3. képen láthatóé pedig 2. Belátható, hogy egy összerakott kereszt belsejében maximum 32 kis kocka lehet, így csak azokat az elemkészleteket kell vizsgálni, amiben az elemek össz súlya nem haladja meg a 32-t. Nem kell pontosan 32-nek lennie, hisz egy kereszt lehet belül lyukas. Az elemek súlyának vizsgálatával már sikerült belátható keretek közt tartani az esetszámot, és az összes létező esetet kielemezni.

Bár Cutler kutatásainak a kezdetén, mikor még nehezebb volt gépidőhöz jutni, egyéb megszorításokat is tett, olyanokat, amik nagyon fontosak azoknak, akik el is akarják készíteni a játékokat. Bevezetett három elemkategóriát annak függvényében, hogy milyen eszközök, gépek szükségesek az elem legyártásához. Legegyszerűbben elkészíthetők a fűrészelhető elemek. Itt minden vágás olyan, ami az elemek teljes szélességén végigér, így egy megfelelően vastag fűrészlappal „csak” néhány keresztvágást kell ejteni a rudakon. Már így is elég bonyolult elemek készíthetők. Néhány példa látható a következő ábrán, a szemléletesség kedvéért bekockáztam a rajzokat:

Cutler először csak a fűrészelhető elemek teljes vizsgálatát végezte el. Ilyenekből 59-féle létezik, ami már kezelhető esetszámot jelent.

A nem fűrészelhető elemek elkészítése sokkal bonyolultabb. Ilyenek láthatók a következő ábrán:

Az első három legyártásához elég egy marógép ezek a marható elemek. De az utolsó kettő (általános elemek) formája csak vésővel, nagyon aprólékos kézimunkával alakítható ki.

Az előzményekről szóló bejegyzésben szereplő mindkét kereszt csak fűrészelhető elemeket tartalmazott, egyik belsejében sem volt lyuk, és mindkettő egyik eleme a tömör, bevágást nem tartalmazó rúd.

Egy ideig azt hittem, hogy az ott bemutatott két kereszt a két véglet, a legegyszerűbb és a legbonyolultabb. Az egyszerűbbet majdnem el is találtam, de Cutler eredményei között található egy még könnyebben összerakható. De mitől is függ egy kereszt bonyolultsága? Mikor lehetünk biztosak abban, hogy két játék közül az egyik könnyebb, mint a másik? Pontos választ nem tudok adni ezekre a kérdésekre, de az elemek néhány jellemzője jó támpont lehet a végső nehézség megtippelésére.

Annál egyszerűbb egy rabkereszt:

  • minél több egyforma elemet tartalmaz
  • minél több az elemek között a szimmetrikus
  • vagy ha egy elem nem is szimmetrikus, de a játék tartalmazza a szimmetrikus párját is
  • az elemek össz súlya minél közelebb áll 32-höz

Ezen szempontok alapján a legkönnyebb rabkereszt:

Láthatjuk, hogy 3+2 elem egyforma, minden elem szimmetrikus és az összsúly pont 32. Valamint a tömör rúd is az elemek között található, ami szintén nem bonyolít.

Egyelőre csak azokkal a keresztekkel foglalkozunk, amelyekben szerepel a tömör rúd. Így eleve kizárunk pár igen nehéz változatot, de azok megérdemelnek több külön bejegyzést. A tömör rudat tartalmazó készletek közül a legnehezebb talán ez:

 

 Itt csak a tömör rúd szimmetrikus, és csak az utolsó két elem egymás szimmetrikus párja.

A facsomóknál már volt szó az összekapcsolódó játékok fokáról. Az eddig bemutatott 6 elemű keresztek foka 1 volt, hisz a tömör rudat mindegyiknél rögtöl ki lehet húzni a játékból. Más szavakkal: az összerakott játékból 1 lépés szükséges az első elem kivételéhez.

A keresztek jellemzésekor még egy tulajdonságot érdemes megemlíteni, ez pedig a játék típusa. Az eddig bemutatott játékok szétszedésekor 1 darab elemet lehetett egyszerre kivenni (a tömör rudat), ezért ezek 1-es típusúak voltak.

Összefoglalva: az eddigi 6 elemű keresztek 1-es fokozatúak és 1-es típusúak voltak. A későbbi bejegyzésekben típusokban és fokokban is feljebb lépünk.

32 komment

Címkék: rabkereszt összekapcsolódó burr facsomó interlocking 6 elemű

A bejegyzés trackback címe:

http://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr292624707

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben.

csg67 2011.01.30. 20:35:35

No ilyet csinálni kell, ezt már látom! :)

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.01.30. 20:38:13

@csg67: Persze, hogy csinálni kell! Nekem az egész játékmániám innen indult!

Majd gyere vissza a későbbi rabkeresztes bejegyzésekhez is, lesznek nagyon érdekes darabok!

csg67 2011.01.30. 20:44:31

@Gál Péter F.: Várom a folytatást! :)
Régebben már elterveztem, hogy ha felújítom majd a lakást, akkor -kerül amibe kerül- aperiodikus parkettát gyártok hozzá, de úgy látom ezekkel is jól el lehet szórakozni!

csg67 2011.01.30. 20:46:41

Most látom, van egy blogod arról is! :D Én még a Császár új elméjében figyeltem fel rá...

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.01.30. 20:51:00

@csg67: Ha jól emlékszem, a Császár új elméjében még titkolózott Penrose.

Hát, ha kész lesz a lakásfelújításod az aperiodikus parkettákkal, majd hívj meg!

csg67 2011.01.30. 20:54:23

Abban a könyvben vannak rajzok is róla. Mondjuk nem egyszerűen gyártható, de megoldható lenne. Persze nem kimondottan faipari gépekkel...

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.01.30. 21:03:38

@csg67:
Ha jól emlékszem, akkoriban Penrose már rájött a 2 elemű parkettájára, de szabadalmaztatni akarta és játékot készíttetni belőle. Így a Császár elméjében ezt még nem közölte, csak egy másik, több elemből álló parkettázást.

csg67 2011.01.30. 21:11:12

@Gál Péter F.: Emlékeim szerint abban két 4 elemű volt lerajzolva. Sajnos most nincs a kezem ügyében a könyv.

Secnir 2011.01.30. 21:34:42

b+
pont ma gondoltam arra, hogy fiamnak (1 éves) összeszedek pár dolgot, hogy nagykorára legyen mit nézegetnie. rubik kocka, rubik torony, varázslatos körök, meg ez a (mostmár tudom, hogy) rabkereszt.

mrbloodbunny · http://mrbloodbunny.blog.hu/ 2011.01.30. 21:52:39

hát nem tudom, hogy a Mikulás északi sarki gyárában a kis manók a playstatuönök, meg plazma wii-s x-boxok összeforrasztásával, vagy 1-1 ilyen idegőrlő fajáték legyártásával néznek nagyobb feladat elé...

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.01.30. 22:02:06

@Secnir: Azt hiszem, már kicsit el vagy késve! Igyekezz, hogy le ne maradjon a kölyök a jó dolgokról!

Jackni Konzol 2011.01.30. 22:12:16

volt valami hasonlóm régebben műanyagból, illetve valahol nyaralás alkalmával sikerült egy jóval egyszerűbb szerkezetet venni egy bóvli árustól, ami kb. banánfából van kifaragva.

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.01.30. 22:16:25

@Jackni Konzol: Az utolsó előtti képen láthatónál is egyszerűbbet?

kapujanincs (törölt) 2011.01.30. 22:59:22

van egy ilyesmi játékom, hatszög alapú hasábokból áll, jóval több darabból, mint ez, és a kivágások is bonyolultabbak az elemein. gömbszerű testté lehet összerakni, ezt onnan tudom, hogy mikor kissrác koromban megvettem, még össze volt rakva. sejtettem, hogy nem lesz egyszerű összerakni, ezért nagyon óvatosan kihúztam belőle egy elemet, persze rögtön szétesett, azóta is darabokban van.

ámbátor 2011.01.30. 23:31:17

Micsoda érdekes véletlen. Épp ma raktam ki egy ilyet. Annyi nehezítéssel, hogy valamiért két készlet összekeveredett, de hiányos, úgyhogy most van 10 elemünk, abból kell kirakni a keresztet, úgy, hogy négy kimarad.

JohnHenry 2011.01.30. 23:58:22

maradok a sudoku-nál :-D

hungarisztan 2011.01.31. 02:16:26

@ámbátor: hja, akinek az eredeti már nem elég nehéz... :oD

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.01.31. 07:17:00

@kapujanincs:
Tudsz küldeni erről egy fotót? Olyat, ahol jól ki lehet venni az elemeket!

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.01.31. 07:18:31

@ámbátor: Gratulálok!
Esetleg az elemek hasonlítanak a két rabkeresztes bejegyzésben láthatókhoz? Elképzelhető, hogy többféleképpen is kihagyható az a négy elem.

ColT · http://kilatasgaleria.blog.hu/ 2011.01.31. 07:22:12

Nagyon zsír. Akadt azért régebben pár nagy koponya, huhh 8-O

Balt 2011.01.31. 09:47:51

@ámbátor: Az lesz a poén, ha 2x5 db-os készlet van, ami elméletileg ugye nem kizárható. :)) (Ahogy az sem, hogy úgy is össze lehet állítani egy >=32-es "súlyú" akármit belőle. :)

Balt 2011.01.31. 09:51:28

@fnyolcas: Egy időben a J...sk (ahol "..." egy karaktert jelöl :)) is árult ilyeneket, azátn kiszórta féláron. Én is vettem belőle párat, de volt "fakereszt", "fémlakat" meg "spárgagolyós" változat is, rengeteg változatban.

Balt 2011.01.31. 09:54:07

@fnyolcas: Most nézem, kb. hasonló választék. (Alighanem ugyanonnan: a svájci óragyárakból - csak mert arra sok fa, kézügyesség és türelem van... :))

Balt 2011.01.31. 09:54:51

@Balt: Meg persze olcsó munkaerő...

kapujanincs (törölt) 2011.01.31. 22:25:19

@Gál Péter F.: hirtelen nem tudnám megmondani, hol tartom, de biztosan megvan. szétnézek, és ha megtalálom, természetesen kapsz képeket. amúgy azt hiszem, Lengyelországban szereztem.