Korábban volt már szó az egyforma pentakockákból alkotható nagyobb kockákról. Ebben a bejegyzésben e játékok ősét, a 25 Y-ból álló változatot mutattam be, itt pedig egy kicsit általánosabban foglalkoztunk a témával. Kár, hogy ezzel a rengeteg elemmel más kockát nem lehet kirakni! A 4 egység oldalú kocka 64 kis kockából áll, az nem osztható öttel, így hiába is próbálkoznánk pentakockákkal. Viszont 4 kis kocka elhagyásával már lehetséges olyan alakzatokat készíteni, amik kirakhatók! Ilyesmikről lesz szó most.
Három térbeli pentakockából rendelkezem sok darabbal:
Nem véletlen, hogy éppen ezekből! Az 5×5×5-ös kockát ezen elemekből lehet nem triviálisan kirakni. (Ez azt jelenti, hogy ezekből az elemekből nem lehet összeállítani olyan kisebb téglatesteket, amikből kirakható az 5-ös kocka. Más szóval ezeknek az elemeknek az 5-ös kocka prím doboza.). Mindből 25 darabom van, de most csak 12-12-re lesz szükség.
Érdekes feladvány lehet kirakni a 4×4×4-es-kockát úgy, hogy pl. az egyik oldallap 4 csúcsa hiányzik, vagy két szemközti oldal két-két átellenes csúcsa. És még egyéb szép geometriai megfontolásokat is lehet vizsgálni. Majd egy másik bejegyzésben :) Most azokat vesszük sorra, amikor az elhagyott kockák nem látszanak, a nagy kocka belsejében helyezkednek el.
Ha kívülről egy lyuk sem látszik, akkor az hasonlít egy belül féregjárta gyümölcsre. Csak a kettévágása után derül ki, hogy belül nem stimmel valami. Innen kapta a nevét ez a feladványtípus.
Egy 4-es kocka felszínnel nem érintkező kis kockái egy 2-es kockát alkotnak. Ebből a közepső 8 mezőből kell valahogy okosan elhagyni 4-et, hogy pentakockákkal kirakható alakzat maradjon. Logikus választás 4 egybefüggő kockát elhagyni, akkor azt úgy is tekinthetjük, hogy egy tetrakocka marad ki. Vagy úgy is mondhatjuk, hogy a 12 pentakocka mellett egy tetrakockát használhatunk fel a nagy kocka elkészítéséhez.
Mindössze 3 tetrakocka fér el a 2 egység oldalú kockában:
Ebből a háromból kettő egymás tükörképe.
A hosszas bevezető után megfogalmazhatjuk sokkal egyszerűbben is a feladatot. Válasszunk ki 12 pentakockát, és egy tetrakockát, rakjunk ki ezekből egy 4 egység oldalú kockát úgy, hogy a sötét elemekből ne látszódjon semmi!
Vajon az összes lehetséges kombináció megoldható? Léteznek nehezebb és könnyebb elemkészletek? A nagy klasszikusok, a csupa egyforma pentakockákból álló készletek megoldhatók? És egy csomó más ravasz kérdés is feltehető. Lássuk a választ ezek közül néhányra.
A csupa Y-ból és a fent jobbra látható tetrakockából álló készlet megoldható! Ennek lépései mutatják a következő fotók:
A kezdet, 5 Y-t felhasználva:
A 7 Y-ból és a tetrakockából álló félkész állapot:
Majdnem készen:
Az utolsó képen látszik, hogy a két kimaradó Y elem pont befedi a kockát és eltakarja a sötét oldalt.
Könnyen belátható, hogy ha így megoldható volt a kocka összeállítása, akkor a sötét tetrakocka szimmetrikus párjával is az.
De vajon a 3. sötét elem is alkalmas erre? Némi próbálkozással (és esetleg számítógépes segítséggel) rájöhetünk, hogy nem az, a 3. tetrakockát nem tudjuk eldugni a nagy kocka belsejében, ha csak 12 Y-t használhatunk. Ha megengedjük, hogy egy "pici" rész kilátszódjon a sötét elemből, akkor már megoldható feladványt kapunk. Jó nehezet! Egyáltalán nem egyszerű megtalálni, hogy hol és mennyi látszódhat ki a tetrakockából.
Nagyon hasonló a helyzet, ha 12 N pentominót használunk. Akkor is csak ugyanezzel a két tetrakockával kapunk igazi megoldást. Ez a változat nehezebb az előzőnél, lényegesen kevesebb megoldása létezik.
A harmadik fajta pentakocka (a J nevű) nem alkalmas egyik tetrakocka elrejtésére sem. Sőt, még ha nem kötjük ki, hogy el legyen rejtve a sötét elem, akkor sem kapunk megoldható elemkészletet.
Ha viszont két J-t lecserélünk két Y-ra vagy két N-re, akkor már ki tudunk alakítani féreglyukat, az egyik (és csak az egyik) tetrakockát el tudjuk rejteni. Vajon melyiket? Jó nehéz feladvány!
Ha rendelkezünk az első képen látható 3*12 pentakockával, akkor jó sok módon (mennyi is?) tudunk 12-t kiválasztani. Minden készletnél lehet vizsgálni, hogy alkalmas-e féreglyukat képezni. Ha minden igaz, végignéztem az összes esetet és azt kaptam, hogy 82 jó elemkészlet létezik. Ezek között van olyan, ami mindhárom tetrakockát el tudja rejteni és van olyan is, amelyik csak az egyiket. A legnehezebb látható a következő képen:
Ezekkel az elemekkel mindhárom sötét elem elrejthető és mindhárom csak egyetlen megoldással rendelkezik. Igazi mesterfeladvány!
