Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

  • Gál Péter F.: @ClownPepito: Felváltva kell lépni, és az veszt, aki már nem tud? Mondjuk, ez lehet egy 2 személye... (2018.06.05. 14:52) Szoliter – Háromszög tábla, kevés bábu
  • Gál Péter F.: @Könyveslány: Köszi, igyekszem. (2018.05.01. 11:20) Fémépítő ördöglakat
  • Gál Péter F.: @bbalint85: Ezekhez az elemzésekhez saját programokat használok. Létezik a BurrTools nevű remek me... (2018.03.04. 22:06) Hasábok félkockákból
  • Gál Péter F.: @Steve Rush: Tisztelt Steve! Nagyon örülök, hogy a matekórákra is betörnek az ördöglakatok! Szív... (2018.01.13. 20:53) Tangram készlet
  • gigabursch: Azt hittem, hogy kipörgetős az ördöglakat, de nem... (2017.09.04. 12:24) Borotvák

A pentominóktól a Penrose parkettáig

2010.09.17. 18:54 Gál Péter F.

A P pentominó rendelkezik egy érdekes tulajdonsággal, négy darabból elkészíthető önmaga nagyított mása:

Hogy szemléletesebb legyen, ugyanez következzen két rajzon is:

Négy ilyen nagy P-ből összeállítható egy még nagyobb:

És rajzon:

Aztán négy ilyenből egy még nagyobb. (Sajnos csak 61 db fából készült P-m van, úgyhogy a sarkokból el kellett hagynom egyet-egyet.)

A rajz viszont teljes, de lekicsinyítettem az előző ábra méretére:

Még néhány fokozat ugyanekkorára kicsinyítve:

A következő:

És végül egy 4096 db kis P-ből álló óriási P:

 

Ezzel a módszerrel a sík tetszőlegesen nagy  részét le tudjuk fedni, más szóval parkettázni (csempézni) tudjuk a síkot.

Az alapos megfigyelő azt is észreveheti, hogy vannak néhányszor ismétlődő mintacsoportok, de minden ismétlődés valahol megszakad. Matematikai precízséggel is belátható, hogy ez a parkettázás hosszabb távon sem eredményez a végtelenségig ismétlődő mintázatot, vagyis nincs olyan eltolás, amivel az egész parkettázás önmagába vihető át. Az ilyen lefedést hívjuk aperiodikus parkettázásnak.

Sokáig az gondolták, hogy ha valamilyen alakzattal aperiodikusan lehet parkettázni, akkor lehet periodikusan is. A P-vel pl. nagyon egyszerűen lehet periodikus parkettázást készíteni:

 

Aztán az 1960-as évekekben egy nagyon mély matematikai tétel bizonyításakor a kínai-amerikai matematikus Hao Wang és az amerikai Robert Berger megmutatta, hogy van olyan parketta készlet, amivel nem lehet periodikusan lefedni a síkot, aperiodikusan viszont igen. Wang és Berger készlete több mint 20000-féle különböző színes, négyzet alakú parkettát tartalmazott. Felfedezése komoly visszhangot váltott ki, számos matematikus próbálta csökkenteni a szükséges különböző elemek számát. A jelenleg ismert "legjobb" készlet mindössze 13 különböző négyzet alakú elemből áll.

Ha nem ragaszkodunk a négyzet alakhoz, az elemszámot tovább lehet csökkenteni. A - talán legismertebb - aperiodikus parketta készlet Roger Penrose találmánya, mindössze két elemből áll. Ezek láthatók a következő ábrán:

Sajnos, Penrose elemeit színezni kell, és ki kell kötni, hogy csak azonos színek érintkezhetnek. E kikötés nélkül periodikusan is parkettázható lenne a sík velük.

Egy szép ábra egy kis síkrészletről Penrose csempékkel fedve:

 

(A kép a Wikipedia aperiodikus parkettázással foglalkozó oldaláról származik.)

De térjünk vissza még a P alakhoz! Egy kicsit más arányú P-kkel egyszerűbben is előállíthatunk hasonló parkettázást.

A következő ábra legkisebb P-je hasonló az eggyel nagyobbhoz, az pedig hasonló a kettő összeállításával keletkező még nagyobbhoz. A hasonlóság aránya mindkét esetben ugyanaz a szám. (Ki tudja találni az olvasó, hogy mennyi?)

 

A 2. és 3. P-ből ismét összeállítható egy még nagyobb P:

Aztán az utolsó kettőből egy még nagyobb:

És így tovább, mindig az utolsó kettőt összeillesztve, sok lépés múlva kapjuk ezt az ábrát:

Itt is megfigyelhetünk apró, ismétlődő területeket, de belátható, hogy ez a módszer is aperiodikus parkettázást eredményez.

Penrose parkettáit színezni kellett, hogy biztosan aperiodikus legyen a parkettázás, de a  színek helyett lehetne kis füleket, bemélyedéseket is készíteni az elemek oldalára, amiket egymásba kellene akasztani. Ekkor nem lenne szükség színezésre, viszont az elemek alakja nagyon elbonyolódna. Robert Ammann, amatőr matematikus, talált egy konvex, színezés nélküli elemkészletet, amivel csak aperiodikusan lehet parkettázni. A készlet mindössze 3 elemből áll, ezek láthatók a következő ábrán:

Nagy örömömre, én rendelkezem egy viszonylag nagy készlettel ezekből az elemekből. Nagyon érdekes és egyáltalán nem könnyű velük "parkettást" játszani! A következő képen az én készletemből összeállított alakzat látható (a gyufásdoboz a méretek érzékeltetése miatt került a képre):

Befejezésül még egy, kevésbé szabályos forma az Ammann parkettákból:

 

19 komment

Címkék: pakolás 2d összerakó kombinatorikus kirakó pentomino

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr162303927

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

P$+ 2010.09.21. 10:28:11

Épp gondolkodunk a fürdőszoba újracsempézésén. :-)

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2010.09.21. 10:36:17

@P$+:
Nem reménytelen a vállalkozás!

A mester épp egy saját magáról elnevezett "parkettán" áll.
en.wikipedia.org/wiki/File:RogerPenroseTileTAMU2010.jpg

Itt pedig egy fürdőszoba csempéje:
www.liefies.com/photos/712-brtile18.jpg

Brannagh · http://studiolum.blog.hu 2010.10.17. 22:53:15

Asszem szerelmes vagyok :D A sima puzzle-t is bírom, de ez sokkal jobb. Én is simán megtámadnám vele a nappalit. Nem gyártanak véletlen valahol ilyen elemeket?

bonebear · http://cinca.blog.hu 2010.11.28. 17:06:02

Van ezeknek köze fraktálokhoz?

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2010.11.28. 17:38:52

@bonebear:
Hmm... Nagyon érdekes kérdés!

A fraktáloknak van egy olyan szemléletes definíciója, hogy olyan alakzatok, amik hasonlóak egy kis részükhöz. Ilyen értelemben mindenképpen fraktál-szerűek ezek a parkettázások, főleg az elsők, a P-ből származók.

Sze-Si 2010.12.30. 12:33:33

Hejho,
a Penrose csempéknél felfedezhető egy körkörös minta. Az "kényszerű" vagy véletlen?

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2010.12.30. 14:51:36

@Sze-Si:
Valószínűleg "kényszerű". A Penrose csempézésnél létezik egy felfújásnak nevezett módszer, ami nagyjából azt jelenti, hogy a kisebb alakzatok kinagyítva, felfújva is előfordulnak. Így ha egyszer kialakult egy minta, akkor az nagyobb változatban is meglesz valahol.

Sze-Si 2010.12.30. 23:09:53

@Gál Péter F.: köszönöm a választ! érdekes a téma! :)

Leonard Zelig 2011.03.01. 16:10:15

Matematika, élőben, gratula!

G. M. E. · http://duplapluszjo.hu 2011.09.30. 08:54:44

Ezentúl tervezzünk P alakú házakat! És térben is határolni lehet vajon egy poliédert csupa P betűvel? Az lenne az igazi

G. M. E. · http://duplapluszjo.hu 2011.09.30. 08:57:47

Ami a fraktálokat illeti, ott az a lényeg hogy tört a dimenzió, azaz kevesebb is elég a kicsinyített másból, mint amennyi egy normális síkidom esetében. A négyzet felére kicsinyített másából négy darab kell, ezért a négyzet dimenziója log_2(4) = 2.

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.09.30. 10:16:22

@Gáspár Merse Előd:
A poliéderes kérdést feltettem Szilassi tanár úrnak. Ha valaki, akkor ő igazán ért a poliéderekhez.

hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi-poli%C3%A9der

psy12 2013.02.21. 20:56:33

Eszméletlen, hogy mikkel nem foglalkoznak a matematikusok...
Amúgy nagyon szépek!
Annál az eltolt arányú "P" pentominósnál véletlenül nem az arany-arány az arány, (1+gyök5)/2? :D

Az igazi Svarc Enegger · https://www.youtube.com/watch?v=Ik9qunsZZtY&index=21&list=RDJVoyWQSNr8I 2013.04.30. 11:24:31

Nagyon érdekes darabok. Az Ammann-féle három elem arányait megkaphatnám pontosan? Kísérleteznék vele egy kicsit.
Köszönöm.