Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

Perigal négyzete

2010.10.24. 09:29 Gál Péter F.

Henry Perigal a XIX század első felében egy nagyon szemléletes bizonyítást mutatott be a Pitagorasz-tételre. Ebben két kisebb négyzetet átdarabol egy nagyobbá, méghozzá nagyon egyszerű módon. Úgy, hogy csak az egyik négyzetet kell felosztani 4 kisebb részre. Később - nem tudni pontosan mikor - ez az átdarabolás lett az alapja az egyik legötletesebb, legegyszerűbben elkészíthető két dimenziós összerakó játéknak.

Ez volt az egyik első sk. játékom, meglátszik rajta az idő múlása:

 

Az elemeket átrendezve megkapjuk a nagyobb négyzetet:

A nagyobb négyzet közepén egy szintén négyzet alakú lyuk látható(, pont ez tölti be Perigal bizonyításában a háromszög másik befogójára emelt négyzet szerepét).

A következő összemontírozott képen a játék egy másik példánya szemlélteti a Pitagorasz-tétel bizonyítását:

 A játék "titka" a két merőleges vágásban rejlik. Így minden keletkező négyszögnek két derékszögű csúcsa is van, nehéz megtalálni az összeillőket!

Javaslom az olvasónak, hogy készítse el a játékot! Csak egy négyzet alakú lapra van szükség, aminek mindkét oldala egyforma. Lehet az fából, papírból, parafából vagy akármiből. A vágások helye és az oldalakkal bezárt szöge tetszőleges lehet, csak a két vágás legyen merőleges. Ha a vágások átmennek a négyzet középpontján, négy egybevágó négyszöget kapunk, ez az eset jóval könnyebb, mint az általános.

Talán a képekről nehezen hihető, hogy ez milyen nehéz játék! Tényleg érdemes kipróbálni.

A próbálkozások során gyakran jutunk hibás összerakásokhoz, valami ilyesmikhez:

 

 Látható, hogy mindhárom esetben majdnem kialakul egy téglalap alakú lyuk! Felmerül a kérdés, hogy készíthető-e olyan játék, ahol nemcsak majdnem alakulnak ki a téglalapok. Elvágható-e úgy a négyzet, hogy többféle téglalap is kialakítható legyen a belsejében? A válasz igenlő, de nem egyszerű megtalálni a megoldást. Javaslom a matematika iránt érdeklődőknek, hogy próbálkozzanak ilyen elrendezést találni. Segítségül egy megvalósítás, (szándékosan döntve fényképeztem, hogy ne lehessen könnyen leolvasni az adatokat.)

 

Ez a játék mostanában készült el, kicsit szebb lett, mint az első képen szereplő. Az anyaga tölgyfa, aminek elég karakteres a mintázata, ezért ügyelnem kellett, hogy az erezet ne segítse a kirakást, így az elemeket külön-külön vágtam, nem egy négyzet felosztásával keletkeztek.

Érdekes játékvariációt kapunk, ha nem négyzetből, hanem téglalapból indulunk ki:

Ebben az esetben is ügyelni kell a két vágás merőlegességére. Az én példányomban két-két egybevágó elem keletkezett. Ez is olyan elrendezés, ahol 3 téglalap alakú lyuk lehet a nagy téglalap belsejében. El is készítettem az egyik kis téglalapot, így ez a játék is alkalmas egy "paradoxon-szerűség" bemutatására. Ehhez csak egy dobozba kellett helyezni az elemeket. Egyszer belefért a kis téglalap, egyszer pedig nem:

 Ismer az olvasó ennél egyszerűbben elkészíthető logikai játékot?

10 komment

Címkék: pakolás paradoxon 2d összerakó kirakó

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr272394598

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

drazsdik 2010.10.25. 21:57:34

Ezzel most találkozom először. Bevallom, nem igazán értem hogyan bizonyitható be a Pitagorasz tétel, dehát ez nem matematika óra. Jut eszembe, miért csak most látom először? Az eddigi matematika tanáraink miért nem mutatták meg nekünk?
Egyébként bámulatosan egyszerű. És ez lenne az összes többi kirakós játék alapja. Megáll az ész.

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2010.10.26. 10:46:42

@drazsdik:
Azért hadd védjem meg a matektanárokat! Én legalább 3-4 bizonyítást tanultam a Pitagorasz-tételre és ezek közül volt átdarabolásos is. Talán nem ennyire frappáns, de szép volt az is.

A kék háromszög átfogójával párhuzamos a vágás a jobb oldali négyzeten. Ekkor belátható, hogy a két piros négyzet egyforma nagyságú és az is, hogy a darabok az átrendezés után pontosan illeszkednek. Kicsit kell vele precízkedni, de teljesértékű bizonyítás hozható ki belőle.

Spd 2010.11.07. 11:38:53

Alanti linken pár mindenféle fa-ördöglakat illetve logikai játék, hozzáértők gondolom le tudják koppintani őket így képről, nekem nagy részéről fogalmam sincs, hogy hogyan működik :)

www.tomtop.com/toy-kids-baby/educational-puzzle/diy-toys.html?limit=40

Fa-Szú 2011.03.07. 19:31:50

Hello.Én tanuló asztalos vagyok és nekem nagyon tetszik a blog és a közeljövöben terevezem az it szereplö néhány fejtörö kis okosságot elkészíteni.Én pl. már csináltam rabkeresztet bár elkapkotam és kellet koordinálnom de még csak tanulom a szakmát.Sok sikert a bloghoz!

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.03.07. 19:39:21

@Fa-Szú:
Kösz!
Sok sikert a játékok elkészítéséhez!

damil92 2011.05.16. 13:33:38

Mi is tanultunk átdarabolós bizonyítást, de nem ezt. Erről eszembe jutott egy másik átdarabolós feladvány, amit érdemes elkészíteni. 4 darab, amiből össze lehet rakni egy négyzetet és egy szabályos háromszöget is. Itt jól látszik:

www.youtube.com/watch?v=yc_bp5B-MWs

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.05.16. 13:42:22

@damil92:
Klassz ez a négyzetből háromszögbe darabolás!

Érdekes és nehéz probléma a különböző síkidomok minél kevesebb darabbal való egymásba alakíthatósága! Dudeney, aki a videón látható átdarabolást kitalálta, jópár évvel megelőzte a korát ezzel. Itt egy játékos járt a matematikusok előtt, ami azért elég ritka.
És ugye, ha jól emlékszem, Bolyai Farkas volt aki először bizonyította, hogy az azonos területű sokszögek egymásba darabolhatók.

damil92 2011.05.16. 14:02:49

@Gál Péter F.:
Azt hiszem jól emlékszel. Ezekben az átdarabolásokban az is a szép, hogy nem használják Bólyai módszerét, hanem látszólag szabálytalan idomokból állnak.

G. M. E. · http://duplapluszjo.hu 2011.09.30. 09:01:49

Érdekesek az olyan kérdések, hogy hány darabos minimálisan az olyan puzzle, amiből kirakható ez meg az, pl négyzet és szabályos ötszög, vagy négyzet, szabályos háromssög és hatszög, stb...

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.09.30. 13:15:09

@Gáspár Merse Előd:
Az egyik IPP-s bejegyzésemben már látszottak azok a könyvecskék, amiket oda vittem. Nos, azok közül néhány pont ilyen átdarabolásos puzzle. Nem tudom, hogy optimálisak-e (valószínűleg nem) de némelyik meglepően kevés darabból áll. És ugye van a híres, már fentebb is hivatkozott négyzetet háromszögbe darabolás.
"Épkézláb" elemekből ennél jobbat még nem láttam.

Ha tudsz ezzel a kérdéssel foglalkozó tudományos irodalmat, légyszi, oszd meg velem!