Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

  • Gál Péter F.: @ClownPepito: Felváltva kell lépni, és az veszt, aki már nem tud? Mondjuk, ez lehet egy 2 személye... (2018.06.05. 14:52) Szoliter – Háromszög tábla, kevés bábu
  • Gál Péter F.: @Könyveslány: Köszi, igyekszem. (2018.05.01. 11:20) Fémépítő ördöglakat
  • Gál Péter F.: @bbalint85: Ezekhez az elemzésekhez saját programokat használok. Létezik a BurrTools nevű remek me... (2018.03.04. 22:06) Hasábok félkockákból
  • Gál Péter F.: @Steve Rush: Tisztelt Steve! Nagyon örülök, hogy a matekórákra is betörnek az ördöglakatok! Szív... (2018.01.13. 20:53) Tangram készlet
  • gigabursch: Azt hittem, hogy kipörgetős az ördöglakat, de nem... (2017.09.04. 12:24) Borotvák

Hexominó - a kihívást kedvelőknek

2011.02.12. 10:37 Gál Péter F.

Öt négyzet összeerősítésével keletkeznek a pentominó elemek. Ezekből 12 féle létezik, ami nagyjából elég egy se nem könnyű se nem túlságosan nehéz játékhoz. Ha hat négyzetet erősítünk össze teljes oldaluknál, akkor a hexominó elemeket kapjuk:

 

Talán első látásra nem világos minden esetben a 6 négyzet elhelyezkedése, ezért a szemléletesség kedvéért következzenek rajzban is az elemek:

 

A 35 féle elem közül némelyek egész egyszerűek (pl. az első sor téglalapjai). Van néhány tengelyesen szimmetrikus (pl.  a 4. sor első eleme), van ami középpontosan szimmetrikus (pl. a 3. sor utolsó eleme), de a legtöbb elem semmilyen szimmetriával nem rendelkezik. Aki sokat játszik hasonló kirakókkal, az már biztosan tudja, hogy a nem szimmetrikus elemek okozzák a legtöbb bosszúságot :)

A 35 elem összesen 210 négyzetből áll. 210 négyzetből sokféle téglalap készíthető: 2×105-ös, 3×70-es, 5×42-es, 6×35-ös, 7×30-as, 10×21-es és 14×15-ös. A geometriához kapcsolódó játékoknál nagyon gyakori feladvány egy téglalap vagy négyzet vagy valamilyen szabályos figura kirakása. Vajon ezen téglalapok közül némelyek összeállíthatók a hexominó elemekből? Ha igen, melyikek és hogyan?

Könnyű észrevenni, hogy a 2×105-ös túl keskeny, abba nem fér bele pl. az első sor 4. eleme. Talán még a 3×70-es esetén is belátható egyszerű formai meggondolásokkal a a kirakás lehetetlensége. De mi a helyzet a többi téglalappal? Mielőtt nekiállunk az elemeket pakolászni, érdemes egy kicsit elgondolkodni!

Színezzük ki sakktábla szerűen a téglalapokat! Mindegyik páratlan sok (pontosan 105) sötét és világos mezőt fog tartalmazni, akárhogy kezdjük is a színezést. Például a 14×15-ös:

 

És most az elemeket is színezzük ki! Ezt már nagyon sokféleképpen meg lehet tenni, íme egy mód:

De akárhogy színezzük is az elemeket, azt tapasztaljuk, hogy a vonal felettiek 3 sötét és 3 világos mezőt tartalmaznak, a vonal alattiak pedig 2-t illetve 4-et (tehát páros sokat). A vonal fölött 24 elem helyezkedik el, 24×páratlan az páros. De a téglalapban meg páratlan sok sötét mező volt! Ezért biztosan nem lehet lefedni az — összesen páros sok sötét mezőt tartalmazó — elemekkel a téglalapokat!

A fenti gondolatmenet sok "játék"-ra és kirakási problémára alkalmazható. Néha azért kicsit ravaszabbul kell színezni :) Fontos megjegyezni, hogy fordítva nem igaz ez az okoskodás! Attól, hogy színezésekkel nem jutunk ellentmondásra, még nem biztos, hogy egy alakzat kirakható!

"Sajnos" téglalap tehát nem rakható ki az elemekből. De majdnem téglalap igen! Ha megengedjük, hogy egy négyzet kilógjon, akkor máris található megoldás:

 

Egy ilyen feladvány azonban elképesztően nehéz! Számítógépes programokkal is általában több nap egy megoldás megtalálása, a feladat teljes kielemzése pedig akár hónapokat is igénybe vehet. Elképzelhető, hogy az emberi intuíció gyorsabban is talál megoldást, de ahhoz vagy nagy szerencse kell, vagy valami általam ismeretlen képesség :) Én nem tudom megoldani az ilyen bonyolultságú játékokat! Játékboltokban lehet kapni több ezer darabos "puzzle"-kat, azok megoldása nem szokott gondot okozni, de ez a 35 elem rendre kifog rajtam! Azoknak a játékosoknak javaslom a teljes hexominó készletet, akik szeretik az extrém nehéz feladványokat ráadásul hatalmas türelemmel rendelkeznek!

Ha a teljes készlet sokaknak megoldhatatlanul bonyolult is, számos érdekes részhalmaza létezik az elemeknek, amikkel az egészen könnyűtől a még megoldható nehézségűig sok-sok feladvány alkotható! Ezekről későbbi bejegyzésekben lesz szó.

Befejezésül álljon itt még két alakzat az összes elem felhasználásával!

Egy lyukacsos téglalap:

 

És egy bástya:

Az elemeket egy körtefa rönkből készítettem, azért ilyen szép a fa mintázata!

14 komment

Címkék: fejtörő 2d összerakó kombinatorikus kirakó put together pentomino hexomino

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr122655521

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

www.konyvline.hu · http://konyvline.hu 2011.02.12. 21:36:00

Gratulálok, nem lehetett könnyű kifaragni !

pocokpocok 2011.02.12. 21:50:27

ötletes, kíváló, agymozgató: igazi magyar feladvány, mint a rubik-kocka

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.02.12. 22:39:17

@pocokpocok:
Nem, sajna nem magyar találmány és főleg nem az enyém. Én csak elkészítettem meg egy kicsit foglalkoztam az elméletével.

flugi_ · http://fundi.blog.hu/ 2011.02.12. 23:45:17

azért egy szoftveres megoldás erre az esetre biztosan nem több napos futásidejű, legalábbis, ha okosan írják meg a programot.

A triviális visszalépéses keresés heurisztika nélkül lehet ilyen. Az alapvető heurisztikák (egyenes kerettel kezdés, menet közbeni kielégíthetetlenségvizsgálat) ezt tizedelik-századolják-ezredelik.

(a félreértés elkerülése végett: az egyenes kerettel kezdés heurisztika nem azt feltételezi, hogy az első egyenes keret jó, hanem fordítva: nem próbálkozik azokkal az esetekkel, amikor a megkezdett táblából nem marad egyenes keretre való)

CsG 2011.02.12. 23:57:56

Nagyon érdekes poszt! És játék! Külön tetszik, hogy írtál egy kis matematikáról/logikáról is hozzá! Csak kérlek felkiáltójelből használj kevesebbet! Kösz! :)

DanZi 2011.02.13. 00:23:19

és ebből kockát nem lehet? vagy valamilyen téglatestet? A pentominot mintha kockává kellene kirakni?

A tangrammhoz hasonlít így, hogy csak 1 egység "magas" kirakósit próbálsz, nem? :)

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.02.13. 07:04:48

@DanZi: A hexomino eredetileg síkbeli összerakó. De nem véletlenül készítettem hasábokból lapok helyett, így tényleg alkalmas térbeli feladványok megoldására is. Ezekről is lesz szó későbbi posztokban.
Se egy pentominó se egy hexominó készletből nem lehet kockát kirakni.

CsG 2011.02.13. 09:28:34

@DanZi: Kockát biztosan nem lehet, gondolj bele, továbbra is 210 kis kocka egységünk lesz, de az nem köbszám.

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2011.02.13. 09:39:43

@CsG: És téglatestet sem, arra is ugyanígy működik a színezős bizonyítás.

DanZi 2011.02.14. 00:36:40

jajaja, nem pentominora gondoltam, hanem a Soma cube-ra :))

DanZi 2011.02.16. 09:35:51

@Gál Péter F.: jaja, bocs, új spíler vagyok itt :)