Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

  • Gál Péter F.: @b.pal: Elég hosszú a zsinór? A fotó csalóka, próbáld hosszú zsinórral! (2018.11.29. 10:04) Mozgó csomó – filléres ördöglakat
  • Gál Péter F.: @ClownPepito: Felváltva kell lépni, és az veszt, aki már nem tud? Mondjuk, ez lehet egy 2 személye... (2018.06.05. 14:52) Szoliter – Háromszög tábla, kevés bábu
  • Gál Péter F.: @Könyveslány: Köszi, igyekszem. (2018.05.01. 11:20) Fémépítő ördöglakat
  • Gál Péter F.: @bbalint85: Ezekhez az elemzésekhez saját programokat használok. Létezik a BurrTools nevű remek me... (2018.03.04. 22:06) Hasábok félkockákból
  • Gál Péter F.: @Steve Rush: Tisztelt Steve! Nagyon örülök, hogy a matekórákra is betörnek az ördöglakatok! Szív... (2018.01.13. 20:53) Tangram készlet

Kocka pentakockákból

2012.11.05. 21:54 Gál Péter F.

Már foglalkoztunk a pentakockákkal. Láttuk, hogy 17-féle létezik, vizsgáltuk a kirakható téglatesteket, több ezer feladványt fogalmaztunk meg.

Lássuk mégegyszer egy képen az összes pentakockát:

OsszElem.jpg

A legkisebb kocka, amit csupa 5 kis kockából álló elemből ki lehetne rakni, az az 5 egység oldalhosszúságú. Ehhez 25 elemre lenne szükség, de sajnos, csak 17 pentakocka van. Így ezekből az elemekből nem lehet kockát kirakni.

A készlet logikus módon kiterjeszthető a tetrakockákkal. Itt is megköveteljük, hogy igazi térbeli alakzatok legyenek, tehát minden irányban legalább két egységnyi legyen a kiterjedésük. Ilyen feltételek mellett mindössze 3 tetrakocka létezik, ezek láthatók a következő képen:

 Tetrakockak.jpg

A pentakockákkal és a tetrakockákkal együtt már lehetséges kirakni kockákat. Nézzük először a 3 egység oldalút. Ez összesen 27 kis kockából áll, ez csak úgy állítható elő, ha 3 pentakockát és 3 tetrakockát használunk. A 17 pentakockából 3-at kiválasztani 680 módon lehet, a tetrakockáknál nincs választási lehetőségünk, ott mindet fel kell használni.

De vajon minden készletnek létezik megoldása? Ha nem, akkor van-e egyáltalán olyan, amiből kirakható kocka?

A következő képen egy ezekből az elemekből kirakott kocka látható, így a feladatnak biztos van megoldása:

Kocka.jpg

Kézzel-ésszel borzasztó nehéz és időigényes lenne meghatározni a jó készleteket, de számítógépes segítséggel elég hamar a végére járhatunk a problémának. Az elvileg lehetséges 680 készletből 190 rendelkezik megoldással. A következő táblázat ezeket tartalmazza. Csak a pentakockák betűjele szerepel, mindegyik mellé oda kell képzelni a 3 tetrakockát.

Elem

Mo.

Elem

Mo.

Elem

Mo.

Elem

Mo.

Elem

Mo.

Elem

Mo.

Elem

Mo.

abd

7

ago

1

bgj

1

cgi

3

dgm

1

ehi

4

ghm

3

abe

7

agp

1

bgp

1

cgj

2

dgp

2

ehj

1

ghp

2

abh

3

ahj

3

bhj

3

cgq

2

dgq

5

ehk

2

ghq

6

abi

3

ahl

4

bhk

1

chi

2

dhi

4

ehl

2

giq

1

acj

4

ahm

3

bhl

2

chj

2

dhj

1

ehm

1

hij

1

ack

4

ahq

7

bhm

2

chk

2

dhk

1

ehn

5

hik

1

adf

5

aik

3

bhq

1

chl

4

dhl

1

eho

3

hin

2

adg

6

ail

3

bij

1

chm

2

dhm

1

ehq

4

hio

2

adj

4

aim

4

bik

3

chq

4

dhn

2

eij

1

hip

10

adl

6

aiq

7

bil

2

cij

2

dho

2

eik

1

hiq

8

adm

5

bdf

1

bim

2

cik

2

dhp

2

eil

1

 

 

adq

7

bdg

2

biq

1

cil

2

dhq

2

eim

1

 

 

aef

6

bdj

2

cde

2

cim

4

dij

2

ein

2

 

 

aeg

5

bdk

2

cdh

2

ciq

4

dik

1

eio

2

 

 

aek

4

bdl

4

cdi

2

deh

6

dil

1

eip

2

 

 

ael

5

bdm

2

cdj

4

dei

6

dim

2

eiq

2

 

 

aem

6

bdq

3

cdk

2

del

1

din

3

fgh

9

 

 

aeq

7

bef

2

cdl

2

dem

1

dio

5

fgi

9

 

 

afh

6

beg

1

cdm

2

den

2

diq

4

fgn

24

 

 

afi

8

bej

2

cdq

4

deo

2

efg

3

fgo

24

 

 

afj

4

bek

2

ceh

2

dep

10

efh

2

fgp

6

 

 

afk

1

bel

2

cei

2

deq

8

efi

4

fgq

8

 

 

afn

1

bem

4

cej

2

dfg

3

efk

4

fhi

4

 

 

afo

2

beq

3

cek

4

dfi

2

efl

1

fhq

1

 

 

afp

1

bfh

2

cel

2

dfl

1

efp

2

fil

3

 

 

agh

8

bfi

4

cem

2

dfm

1

efq

5

fim

2

 

 

agi

6

bfk

1

ceq

4

dfq

2

egh

2

fip

2

 

 

agj

1

bfp

1

cfh

3

dgh

4

egl

1

fiq

6

 

 

agk

4

bgh

4

cfk

2

dgi

2

egm

1

ghi

4

 

 

agn

2

bgi

2

cfq

2

dgj

4

egq

2

ghl

2

 

 

Látható, hogy viszonylag kevés megoldása van a készleteknek. Gondoljunk csak vissza a Szóma 480 megoldására. Pusztán a számokból is sejthető, hogy ezek jóval nehezebb feladványok, mint a Szóma kocka. Igazán figyelemre méltóak az 1 megoldásos készletek, ezek aztán tényleg komoly fejtörők. A fenti táblázatban 40 ilyen szerepel.

A 17 pentakocka közül 12 semmilyen szimmetriával nem rendelkezik. Ezek láthatók a következő képen:

AsszimElemek.jpg

A legnehezebb feladványokat akkor kapjuk, ha ezeket az elemeket használjuk kocka összeállításhoz. Pl. a d, e, l vagy az e, h, j elemek a tetrakockákkal kiegészítve valószínűleg a legnehezebb 3-as kocka összerakó játékot alkotják.

De nemcsak 3×3×3-as kockát lehet kirakni ezekből az elemekből:
Kocka4.jpg
A 4-es oldalhosszúságú kockához 12 pentakockára és 1 tetrakockára van szükség. Ezeket 18564-féleképpen lehet kiválasztani, és minden készlet több megoldással rendelkezik. Nagyon nehéz egy előre kiválasztott készletből kirakni a nagy kockát. Könnyebb, ha az összes elemmel próbálkozhatunk, nem kell előre eldönteni a készletet.
Pont 12 semmilyen szimmetriával nem rendelkező pentakocka van, ezekhez hozzáadva pl. az r tetrakockát egy nagyon komoly készletet kapunk. Bár rengeteg megoldása van, mégis nagyon nehéz megtalálni egyet is.

A későbbiekben még többször visszatérünk a pentakockákra!

Szólj hozzá!

Címkék: kocka kombinatorikus összerakó 3d összerakó kirakó put together

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr94892460

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.