Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

  • Gál Péter F.: @ClownPepito: Felváltva kell lépni, és az veszt, aki már nem tud? Mondjuk, ez lehet egy 2 személye... (2018.06.05. 14:52) Szoliter – Háromszög tábla, kevés bábu
  • Gál Péter F.: @Könyveslány: Köszi, igyekszem. (2018.05.01. 11:20) Fémépítő ördöglakat
  • Gál Péter F.: @bbalint85: Ezekhez az elemzésekhez saját programokat használok. Létezik a BurrTools nevű remek me... (2018.03.04. 22:06) Hasábok félkockákból
  • Gál Péter F.: @Steve Rush: Tisztelt Steve! Nagyon örülök, hogy a matekórákra is betörnek az ördöglakatok! Szív... (2018.01.13. 20:53) Tangram készlet
  • gigabursch: Azt hittem, hogy kipörgetős az ördöglakat, de nem... (2017.09.04. 12:24) Borotvák

Átdarabolások — pentominók

2012.12.21. 20:22 Gál Péter F.

Bolyai Farkas óta tudjuk, hogy minden azonos területű sokszög néhány vágással átdarabolható egymásba. "Szép" átdarabolásokat azonban egyáltalán nem könnyű találni. Vannak módszerek, amelyek segítségével, általában nagyon sok vágással, elvégezhető két sokszög egymásba alakítása, de ha törekszünk a kevés elemre, akkor már inkább a kreativitás és a jó ötletek segítenek, mint az általános módszerek. Egy régebbi bejegyzésben már foglalkoztunk átdarabolásokon alapuló játékokkal, akkor szép geometriai formákat alakítottunk egymásba.

Pentominókról is sokszor volt és lesz szó ezen a blogon. A pentominó elemeket itt mutattam be. Most a két témát összekapcsoljuk és érdekes átdarabolásokkal foglalkozunk, ahol az egyik alakzat egy pentominó. A másik alakzat is négyzetek összeillesztésével keletkezik, de nem 5, hanem annál kevesebb négyzetből áll. Vagyis egy 5 négyzetből álló alakzatot átdarabolunk egy kevesebb négyzetből állóba. Pl. ezekkel az elemekkel:

T5-L4-Pcs.jpg

De hogyan lehetséges 5 négyzetet mondjuk 4-be átdarabolni? Természetesen úgy, hogy az utóbbi picit nagyobb négyzetekből áll. Ha az 5 négyzetből álló alakzat négyzetei 1 egység oldalúak, akkor a 4 négyzetből állóé √ 5 /2 vagyis kb. 1.118. Ez elég kicsi különbség, szemmel alig észrevehető. Így nyugodtan nevezhetjük az ilyen játékokat átdarabolási paradoxonnak.
De lássuk, milyen pentominó rakható ki a fenti elemekből! A fotón igyekeztem úgy elhelyezni az elemeket, hogy ne nagyon látszódjanak az azonos hosszúságú oldalak. Látványra talán nehezebb a játék, mint a valóságban. Bár csak pár napja rendelkezem az elemekkel, még nem sok ember próbálta ki, de senkinek nem okozott különösebb nehézséget összeállítani a T pentominót:

T5-L4-T5.jpg

Meglepő módon kicsit nehezebb a 4 négyzetből álló L tetrominót összerakni, de nagy problémát ez sem okoz:

T5-L4-L4.jpg

Az L tetrominó másik pentominóba is átdarabolható. Nagyon érdekes, hogy ehhez az átdaraboláshoz is két "fura" konkáv sokszögre van szükség, valamint egy-egy trapézra és derékszögű háromszögre. Az elemek:

W5-L4-Pcs.jpg

Az L tetrominó:

W5-L4-L4.jpg

Ezt még elárulom, ezekből az elemekből a W pentominót lehet összerakni:

W5-L4-W5.jpg

De nemcsak tetrominóvá lehet darabolással alakítani a pentominókat! A következő elemkészlet egy másfajta, négyzetekből álló alakzat kirakására alkalmas:

V5-Domin-Pcs.jpg

Két négyzetet csak 1 módon lehetséges egymás mellé illeszteni, ha megkívánjuk, hogy teljes oldalak érintkezzenek. Ezt az alakzatot hívjuk dominónak. Dominó sokkal régebb óta létezik, mint amióta a matematika és általában a játékirodalom négyzetek összeillesztésével foglalkozik. Ezért is lett e játékcsalád névadója a dominó. Általánosan a négyzetek összeillesztésével keletkező alakzatok neve: poliominó, vagy angolos írásmóddal: polyomino. Ez a bejegyzés tehát poliominók egymásba darabolásával foglalkozik.
De vissza a dominóhoz és a fenti elemkészlethez! Íme a dominó kirakása:

V5-Domin-Domin.jpg

Fogalmam sincs, hogy kép alapján rá lehet-e jönni, de próbálja meg kitalálni az olvasó, hogy melyik pentominó rakható ki ugyanezekből az elemekből!
És még egy feladvány még kevesebb információval:

Y5-Z4-Pcs.jpg

Ezekből az elemekből szintén egy pentominót és egy tetrominót lehet összeállítani. Sikerül kitalálni, hogy melyikeket?
Ebben a bejegyzésben 4 átdarabolásról, 4 játékról volt szó. Mind a 4 a ma ismert "legjobb", vagyis a legkevesebb darabból álló elemkészletből állnak. De matematikai szigorral nincs bebizonyítva, hogy tényleg nem lehet kevesebb elemmel elérni ugyanezeket az átalakításokat. A nagyon komoly problémák iránt érdeklődők megpróbálkozhatnak a bemutatottaknál jobb elemkészletek kitalálásával. Örömmel értesülnék róla, ha valaki sikerrel járna!
A pentominók tetrominókká és dominókká darabolása elég alaposan vizsgált problémakör. (Azonban korántsem lezárt terület, lehet még eredményeket elérni itt is!) De más poliominó átdarabolások még fehér foltok, sok-sok érdekes felfedezés várhat a vállalkozó olvasóra! Átdarabolásra fel!

1 komment

Címkék: fejtörő 2d összerakó összerakó kirakó megoldatlan probléma put together pentomino pentamino

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr114976699

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

psy12 2013.02.13. 22:17:47

Üdv!
Szerintem a piros színű elemekből egy "V" pentominó
jön ki.
A fekete színűből szerintem egy "Y" pentominó vagy egy "N" (vagy "Z" nem tudom melyik a helyes megnevezés)jön ki...
Üdv!