Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

Hoppers, az igazi! - Kísérlet egy csorba kiköszörülésére

2013.03.09. 18:58 Gál Péter F.

Az elősző Hoppersről szóló cikkbe egy súlyos hiba csúszott. Rosszul készítettem el a játék tábláját, így néhány vonal lemaradt róla. Sajnos, ezt nem én vettem észre, hanem már a bejegyzés megjelenése után egy figyelmes olvasó. Még egyszer köszönöm sebcsabának!

Íme egymás mellett a jó és a hibás Hoppers tábla:

Hoppers_2Tabla_05Pegs_OR.jpg

A bal oldali a helyes, a jobb oldali a hibás. Ezután azt Félhoppersnek fogom hívni.

Első ránézésre is látszik, hogy a hibás táblán – a Félhoppersen – lényegesen kevesebb lépéslehetőség van, mint az igazin. Az is látszik, hogy a Félhoppers része a Hoppersnek, vagyis ami a hibás táblán megoldható, az  megoldható az eredetin is. Fordítva biztosan nem igaz, hisz pont egy ilyen esetet talált meg az első bejegyzésben az olvasó. De vajon mennyire gyakoriak azok az elrendezések, amik az egyik táblán megoldhatók, a másikon nem? Van-e olyan eset, ami mindkét táblán megoldható, de a megoldás nem egyezik, esetleg az egyik táblán kevesebb lépésből áll? Egyáltalán hány "értelmes" feladvány létezik ezekre a táblákra? A következőkben megkísérlem megadni a válaszokat ezekre a kérdésekre.

A fenti képen látható elrendezés is olyan, hogy az igazi táblán megoldható, a hibáson pedig nem. Néhányat lehet lépegetni azon is, de nem tudunk eljutni addig, hogy csak egy pálca maradjon a táblán. Nagyon hiányzik az a kis átló jobb fölül!

De mi történik, ha a kezdőállásban egy picit megváltoztatjuk az egyik pálca helyét:

Hoppers_05Peg_3Mov_4Mov.jpg

Az elrendezés ugyanaz, mint fölül, csak a bal alsó pálca került egy pozícióval lejjebb. Kis próbálgatással rá lehet jönni, hogy így már mindkét tábla megoldható elrendezést tartalmaz. Ha ugyanazzal a bábuval többet is lépünk egymás után, akkor azok összevonhatók és csak egy lépésnek szokás számolni. Ha még arra is figyelünk, hogy (ilyen értelemben) minél kevesebb lépéssel oldjuk meg az állást, akkor a bal oldalihoz elég 3, míg a Félhoppershez 4 lépés szükséges. Tehát ilyen is létezik: mindkét táblán megoldható az állás, de különböző a megoldások hossza.

Keressünk olyan elrendezéseket, ahol csak az igazi Hoppers táblán megoldható a játék! 5 és 6 pálcásról már volt szó. 4 bábusfra egy példa:

Hoppers_04Peg_2Mov_OR.jpg

Ez az elrendezés többféleképpen megoldható, de mindhez szükségesek azok a kis átlók, amik csak ezen a táblán szerepelnek. Mennyi is itt a legrövidebb megoldás hossza? Ezt az olvasóra bízom.

Egy 7 bábus elrendezés, ami csak az egyik táblán oldható meg:

Hoppers_07Peg_5Mov_OR.jpg

8 bábus:

Hoppers_08Peg_3Mov_OR.jpg

Ez egy szép elrendezés, jó kevés lépéssel is megoldható. Mennyivel?

9 bábus helyzetből meglepően kevés van, ami csak az rendes Hoppers táblán oldható meg! Ezek közül az egyik:

Hoppers_09Peg_4Mov_OR.jpg

Fura módon a 10 bábus helyzetek között nincs olyan, ami csak az egyik táblán lenne megoldható.

A 11-esek között (a szimmetriáktól eltekintve) csak egyetlen elrendezést lehet találni, ami a két tábla különbségét illusztrálja. Ezt nem árulom el, érdemes megpróbálni megkeresni! Nem olyan nehéz, mint elsőre tűnik, főleg, ha elárulom, hogy a Félhoppersben már elindulni sem lehet, egyetlen ugrást sem lehet végrehajtani.

A 12 bábus elrendezések ismét mind megoldhatók. Erről volt szó az előző bejegyzésben is.

Érdekelt, hogy mennyire tud eltérni a két táblán a megoldások hossza. Mi az a legnagyobb különbség a lépésszámban, ami ugyanazon állás megoldása között felléphet a két táblán? Számomra meglepő módon ez legnagyobb különbség mindössze 3! És ezt már tudja egy 6 bábus elrendezés is:

Hoppers_06Peg_2Mov_5Mov.jpg

Az igazi Hoppers 2 lépésben megoldható, a Félhoppers csak 5-ben!

Hasonló különbség található 9 bábus elrendezésben is, az egyik táblán 4, míg a másikon 7 lépésben oldható meg:

Hoppers_09Peg_4Mov_7Mov.jpg

Érdemes megkeresni mindkét megoldást!

Egy 8 bábus elrendezésben is fellép ugyanekkora különbség. Ezt nem egyszerű megtalálni, de hátha valaki kedvet érez az ilyen nehéz problémákhoz is!

Ezeknél kevesebb vagy több bábu esetén a különbség mindig kisebb.

A 12 bábus elrendezések közül csak ennek különbözik a megoldáshossza:

Hoppers_12Peg_8Mov_9Mov.jpg

Sikerül megtalálni a különböző lépésszámokat?

Most következzen pár "száraz" adat:

Ezekhez a feladványokhoz is számítógépes segítséget használtam. Írtan egy viszonylag általános szolitermegoldó-programot (a napokban változott az egybeírás-különírás szabálya, remélem a régi és az új szabályozás szerint is helyes így :)), amihez csak a táblát kell kívülről megadni, onnantól kezdve már automatikusan megtalálja a megoldásokat. Ez a 13 mezős tábla viszonylag kicsi, így a program gyorsan végez egy-egy állással, így lehetőség volt lényegében az összes "értelmes" eset megvizsgálására. A 3 pálca még túl kevés, annyival nem lehet értelmes feladványokat kitalálni. (Egész kicsi gyerekeknek azért jó lehet.) Én a vizsgálataimat 4 bábutól kezdtem. Hány állást is jelent ez?

A 13 mező mindegyikén vagy van bábu vagy nincs, így az összes eset: 213=8192. De nincs értelme a 0, 1 és a 13 bábus állásoknak. Ezek száma 1+13+1=15. Ezen kívül nem érdekes feladványok a 2 és 3 bábus elrendezések, amik 78+286=364-en vannak. Így az összes megvizsgált elrendezések száma:  8192-15-364=7813. Ezek között van egy csomó lényegében azonos, amik forgatással vagy tükrözéssel egymásba vihetők, de ezek kiszűrésével nem foglalkoztam.

És akkor most jöjjön néhány (számomra) meglepő adat!

A 7813 esetből az igazi Hoppers táblán 5490 megoldható, tehát az esetek több, mint 70%-a! De a  Félhoppers tábla sem sokkal marad el, ezen a táblán pedig 4711 megoldható elrendezés létezik, az összes eset kb. 60%-a. És ami talán még meglepőbb, az igazi Hoppers tábla feladványainak 85%-a a Félhoppersen is megoldható! Ezt nem gondoltam volna. Először azt hittem, hogy az előző bejegyzés feladványainak kiválogatásánál marha nagy mázlim volt, hogy csak egy lett hibás, de így már érthetőbb! Ha lát valaki egy mélyebb összefüggést vagy egy szemléletes magyarázatot erre a meglepő eredményre, akkor kérem, ossza meg velünk!

Sejthető, hogy minél több a bábu, annál több feladvány lesz megoldható mindkét táblán. Ez így is van. Az összes 12 bábus állás megoldható mindkettőn.

11 pálca 78-féle módon állhat a táblákon, ezek közül 72-nek van megoldása a Hoppersben és 70-nek a Félhoppersben.

10 pálca 286 módon állhat, ebből 248-nak van megoldása mindkét Hoppersnél. Tehát itt nincs eltérés a két tábla között. Vajon miért? Ez is fura nekem...

9 pálca: 715 módon állhat, ezek közül 601, ill. 590 rendelkezik megoldással. Itt is elég kicsi a különbség.

A Félhoppers 4711 megoldása közül 876 hossza nagyobb, mint ugyanannak az állásnak a Hoppers táblán.

Van még kérdés? :) Vagy eddig sem volt? :)

Bár nagyon röstellem magam a múltkori hibás cikkért, de végül így számomra sokkal érdekesebb lett a dolog. Sőt, azt mondogatom magamban, hogy egy újfajta szolitert "fedeztem fel", ami közel olyan érdekes és csaknem annyi kihívást tartalmaz, mint egy "hivatalos" változat.

“Csak az nem bán meg semmit, aki nem hibázik soha. Csak az nem hibázik soha, aki semmit sem csinál. Aki nem csinál semmit, az nem is él igazán. Hibázz, bánd meg, javítsd ki és élj boldogan, gondtalanul!”

Az idézet innen származik., eredete ismeretlen, de most megtetszett.

2 komment

Címkék: megoldhatatlan szoliter sorozatos mozgatás

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr855124917

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Krisztian Nagy · http://blenditak.hu 2019.10.20. 16:02:41

Üdv! Nem ismertem ezt a fajta játékon, köszi a megosztást! Csináltam is egyet maradék faanyagból. Esetleg tudnál mondani internetes oldalt, ahol feladványok-megoldások vannak a táblához?

Gál Péter F. · http://ordoglakat.blog.hu/ 2019.10.21. 16:17:04

@Krisztian Nagy: A blogon többször visszatér ez a játék. Nézz körül itt!

Esetleg lehet találni ThinkFun-os kártyákat lefotózva.