Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

  • Gál Péter F.: @ClownPepito: Felváltva kell lépni, és az veszt, aki már nem tud? Mondjuk, ez lehet egy 2 személye... (2018.06.05. 14:52) Szoliter – Háromszög tábla, kevés bábu
  • Gál Péter F.: @Könyveslány: Köszi, igyekszem. (2018.05.01. 11:20) Fémépítő ördöglakat
  • Gál Péter F.: @bbalint85: Ezekhez az elemzésekhez saját programokat használok. Létezik a BurrTools nevű remek me... (2018.03.04. 22:06) Hasábok félkockákból
  • Gál Péter F.: @Steve Rush: Tisztelt Steve! Nagyon örülök, hogy a matekórákra is betörnek az ördöglakatok! Szív... (2018.01.13. 20:53) Tangram készlet
  • gigabursch: Azt hittem, hogy kipörgetős az ördöglakat, de nem... (2017.09.04. 12:24) Borotvák

Minden napra 100 játék – Pentominó azonosságok

2014.01.05. 21:13 Gál Péter F.

Minden napra 100 játék? Az 36500 feladvány. Sőt, lehet, hogy még ennél is több gondolkodni valót rejt a most bemutatandó játékcsalád.

A taiwani iskolákban bevett gyakorlat, hogy a diákoknak különböző tudományos munkákat kell vagy lehet végezniük nem feltétlenül szorosan a tananyaghoz kapcsolódva. A jobb alkotások aztán kiállításokon, versenyeken vesznek részt. (Szerintem ez nagyon hasznos gyakorlat, jó lenne, ha nálunk is elterjedne.) Egy ilyen tudományos kiállításon tűnt fel két középiskolai diák Chun-yen Chou és Yu-chuan Lin ötlete. Azt vizsgálták, hogy különböző alakzatokból, mikor, hogyan lehet azonos formákat létrehozni. Pontosabban ők ennél speciálisabb eseteket elemeztek, a vizsgált alakzataik a 4 négyzetből álló tetrominók voltak. Vagyis ezek:

Tetrominok2.png

Az öt különböző elem nem hordoz túl sok lehetőséget, így két különböző színből két-két készletet használtak. Volt tehát 10 db (mondjuk) zöld és 10 db kék tetrominójuk. Azt vizsgálták, hogy 2-3 kék és zöld elem segítségével tudnak-e azonos alakzatokat kirakni. Pl. (színezetlen tetrominókkal):

Tetro_2x2.jpg

Az ötlet annyira megtetszett Andy Liu amerikai matematikusnak, aki "mellesleg" ördöglakatmániás és IPP tag, hogy a ThinkFun játékgyártó cég figyelmébe ajánlotta. Az ő segítségével ki is alakult a játék piacképes változata. Először Top This! majd ShapeOmetry néven került a boltokba. A ThinkFun szokása szerint a játékhoz 40 feladványkártya tartozik, a könnyűtől az egészen nehézig. A 40 kártyán felül néhány bónusz feladványt ingyen letölthetővé tett a cég. Itt található egy PDF ezekről.

Amint a letölthető PDF-ből is látható, a közepes vagy annál nehezebb feladványok 3-3 elemből állnak, tehát 3 kék elemből kell ugyanazt kirakni, mint 3 zöldből. Elsőre nem tűnik nehéznek, de érdemes megpróbálni! Egyáltalán nem egyszerű megtalálni azt az alakzatot, ami mindkét színnel kirakható.

Engem nagyon régóta érdekelnek a különböző pentominós, tetrominós vagy úgy általában a poliominós játékok. Mivel ehhez meg csak 3+3 elem szükséges, ezért különösen megtetszett. Úgy döntöttem, hogy alaposabban elemzem e játéktípust. Bár nem ez volt az első eredményem, de előbb-utóbb elkészült az összes 3 tetrominós feladvány elemzése. A Top This!-ben az egy színű 3 elem között max. 2 egyforma lehet, így én is ezt vizsgáltam. Két készlet tetrominóból 3-at kiválasztani úgy, hogy max 2 egyforma legyen csak köztük 30 különböző módon lehet. Ezekből a 3-asokból 435-féle pár képezhető. Minden pár egy-egy feladvány: vajon ki lehet-e rakni a két (3-3 elemből álló) párból ugyanaz az alakzatot? A vizsgálat eredményét egy nagy táblázatba foglaltam:

Tetromino_3db_AzonossagS.png(Kattintásra megnő.) A táblázatban az egyes mezők a sorok és oszlopok fejlécében található elemhármasok által közösen kirakható különböző alakzatok számát jelentik. Azok az igazán nehéz feladványok, ahol csak egy vagy két jó alakzat létezik. Ezeket jelöltem rózsaszínnel és sárgával.

A táblázat 30*30 mezős, ami elvben 900 játékot jelent, de a valós feladványok száma jóval kevesebb. Amint jobb alul látszik, 284 olyan pár létezik, amiből lehet azonosakat kirakni. De a táblázat szimmetriája miatt minden eset kétszer számolódott, így 141 a ténylegesen megoldható különböző esetek száma. Napi egyet megoldva közel fél évre már ez is elegendő :)

De azért nekem a szívem csücske a pentominó. Miért ne lehetne ugyanezt a játékot pentominókkal is játszani? Sejthető, hogy azokkal még több nehéz és könnyű eset létezik.

Először a 2-2 pentominóból álló párokat vizsgáltam. Egy ilyen eset látható a következő fotón:

Pento1_FN_VW.jpg

A 12 pentominóból kettőt kiválasztani 66 módon lehet. Így elvben egy 66*66-os táblázat írná le az összes esetet. Nem minden pár alkalmas azonban arra, hogy más párokkal azonos alakzatot rakjunk ki belőle (szerintem ez elég fura). Ilyen elszigetelt pár pl. az XZ pentominókból álló. A 66 lehetséges párból 62 alkalmas a játékra, így az összes esetet egy 62*62-es táblázat írja le:

Pentomino_2db_AzonosS.png(Ez is megnő kattintásra) De le is tölthető PDF-ben.

Ebben a táblázatban elég kicsi számok szerepelnek, így csak az 1 megoldásos eseteket jelöltem rózsaszínnel. Összesen 310 megoldható eset létezik. Ezek általában közepesen nehezek, gyerekek is sikeresen próbálkozhatnak vele.

Kicsit alaposabban elemezve az összes esetet, látható, hogy vannak "különleges" elempárok.

Pl. az LX pár csak egy másik párral tud azonos alakzatot képezni. A táblázat megnézése nélkül sikerül megtalálni, hogy melyikkel? Vagy hasonlóan "mogorva" párok még az IW, a VX és a WX. Mindössze két "baráti párja" van az FI-nek, az IV-nek és az NX-nek.

A legtöbb párral képes azonos alakzat kirakására az LP kettős, de ezzel is csak alig több, mint az esetek fele megoldható. Az LP-nek 22 párral csak 1 közös alakzata létezik, így ezek viszonylag nehéz feladványnak tekinthetők.

Könnyen adhatunk még egy csavart ennek a játéktípusnak. Ha csak 1 pentominó készlettel rendelkezünk, akkor nyilván nem jönnek szóba azok a párok, amikben szerepel azonos elem. Így érdekes megvizsgálni, hogy 4 különböző pentominót felhasználva milyen lehetőségek adódnak.

Elsőre azt gondoltam, hogy azok az érdekes négyesek, amiket bárhogy osztunk ketté, mindenképpen megoldható feladványt kapunk. Azt viszont nem tudtam, hogy egyáltalán létezik-e ilyen. Így erre külön programot írtam :) És bizony létezik, nem is egy. Pl ez:

Pento2_FILP_egyutt.jpg

Tehát az FILP négyest bárhogy bontjuk 2 pentominóból álló csoportokra, mindig ki tudunk rakni a két csoportból azonos alakzatokat. Összesen 3 ilyen kettéosztás létezik. A megoldások:

Pento2_FILP_MOAll.jpg

Van még pár ilyen elemnégyes. A következő felsorolás azokat tartalmazza, amiknek minden bontása megoldható, de mindnek csak 1 megoldása létezik:

ILNP, ILPT, LNUV, ILNW, NPTW, FILY, ILPY, LNPY, FLTY, ILTY, FLUY, LTUY, FNVY, NPWY, FLXY, FNXY, NPTZ.

Próbálja megtalálni néhány elemnégyes megoldásait az olvasó!

Aztán később inkább azok az elemnégyesek bizonyultak érdekesnek, amiket csak egy módon lehetett kettéosztani úgy, hogy a két félből ki lehessen rakni azonos alakzatot. Ilyen is létezik jópár:

FNPT, FITU, FNUV, FPUV, NTUV, FLPW, IPTW, FNUW, LPUW, NTUW, LNVW, LUVW, NPUX, PUVX, INTY, FNUY, PTUY, FUVY, IUVY, LUVY, PUVY, LNWY, PVWY, LPXY, NTXY, UVXY, PWXY, ITUZ, NTUZ, PUVZ, FPWZ, LNYZ, NPYZ, NUYZ, PUYZ, FLUV, FPUY, FPWY, NPUZ

Pl. az FNPT négyesnek csak ez az egyetlen megoldása létezik:

Pento3_FNTP_Mo.jpg

Azt hiszem, ezek így már elég nehéz feladatok!

És még egy csavar! Vajon ki lehet-e rakni 3 egyforma alakzatot, úgy hogy mindegyik 2-2 elemből álljon? Szerencsére igen:

Pento4_3Egyforma.jpg

Nem sok ilyen készlet létezik. A fenti ILNTVY elemhatoson kívül a következők jók még:

FILNWY, FLNPTY, FLNPYZ, FLNVYZ, FNPTUZ, FNPTYZ, FNUVYZ, LNPTWZ, LNPTYZ, LNPUVW, LNPUVY, LNPUVZ, LNPWYZ

Mindegyinek csak egy felbontása jó. Ezeket a megoldásokatt megtalálni (azt hiszem) igen-igen nehéz feladvány!

Ha három egyforma alakzatot sikerült kirakni 6 elem segítségével, akkor jogosan adódik a kérdés, hogy vajon 8 elmmel lehetséges-e 4 egyformát létrehozni. Nos, a válasz (sajnos) nemleges. Van ugyan egypár 10 négyzetből álló alakzat, amit viszonylag sok módon, sok elempárral ki lehet rakni. Pl:

Alakzat_7_Megoldassal.pngEz 7 különböző elempárral is létrehozható. Érdemes megtalálni őket! De a 7 pár közül max. 3-at lehet kiválasztani úgy, hogy ne legyen bennük azonos elem.

Ha már 4 azonos alakzatot sem lehet kirakni 8 elemből, akkor nyilván 10-ből 5-öt vagy 12-ből 6-ot sem lehet. Az egyszerre kirakható 2-2 elemből álló azonos alakzatok maximális száma tehát 3.

Az eredeti ThinkFun-os játékban max 3-3 elemből álló feladványok szerepeltek. Így elhatároztam, hogy azt is felderítem, milyen azonos alakzatok rakhatók ki 3 pentominó felhasználásával. Ez már egy kicsit "húzósabb" vizsgálat lett, hisz 3 pentominóból közel 2 millió féle alakzat hozható létre, azokat kellett megtalálni, amik több módon is előállnak. Pár napos programozói és kb ugyanennyi futás után előállt az eredmény.

A 12 pentominó közül hármat kiválasztani 220 módon lehet. És minden elemhármas alkalmas valamelyik másikkal azonos alakzat létrehozására. Így az eredményt egy 220*220-as táblázat tudja jól leírni. Itt (nem) látható:

Azonossag_3PentominoS.png

Kattintásra ez is megnő, de elég nagy a file. Lehet, hogy érdemesebb letölteni ezt a PDF-et. Ezt a táblázatot alaposan kiszíneztem: rózsaszín jelöli a megoldással nem rendelkező, kék az 1 megoldásos és sárga a 2 megoldásos eseteket. A többi maradt fehér. Már első pillantásra is látszik, hogy a színek közül a rózsaszín, vagyis a megoldás nélküli párok vannak többségben. De összességében mégis a megoldásos esetek uralkodnak, közel 28000 mező nem rózsaszín (a 48400-ból). Ez azt jelenti, hogy ebben a táblázatban egész pontosan 13889 feladvány található.

Ha már mind kész, akkor megint vizsgálhatunk pár érdekes esetet.

Egy elemhármas maximum 219 másik hármassal lehet képes azonos alakzat létrehozására. De olyan elemhármas nem létezik, ami mindegyik másikkal tudná ezt. Az FPY viszont mindössz eggyel nem képes ezt megtenni, az IXZ-vel. Nagyon barátságos még az LPY,  az FLY és az FLP, mindnek 215 vagy annál több társa létezik. És csak ezek ilyenek. Úgy látszik, hogy LP, LY, PY jól viselkednek ebből a szempontból.

A "legmogorvább" a már említett IXZ hármas, neki csak 9 "barátot" sikerült szerezni.

Érdemes megint vizsgálni azokat az elemkészleteket, amik nem tartalmaznak azonos elemeket és minél több vagy éppen minél kevesebb megoldással rendelkeznek.

6 pentominót 10-féleképpen lehet 2 egyforma csoprtra osztani. Van-e olyan elemhatos, amit bárhogy osztunk két 3-3 darabos részre, a két félből mindig kirakható azonos alakzat? Igen, létezik ilyen, nem is egy. Talán a legnehezebb az FLNPXZ készlet:

Pento5_FLNPXZ.jpg

Itt minden kettéosztásnak csak nagyon kevés megoldása létezik, a legtöbbnek csak egy. Ez az elemhatos önmagában 10 játékot rejt. Érdemes próbálkozni vele!

Hasonló készletek még:

FILUXY, FILTXY, FLNPWX, FILPUW, FLTVXY, FLUVWZ, FINTXY, ILNTVW, ILPTWZ, INTUVY, FILNUZ, FLTWXY, FNVWXY, FILTWY, INPTVY, INUWYZ, FLUXYZ, FLWXYZ, INPTVW, FILNTU, FILPXY, FLNPUX, FLNVWZ, ILPTVZ, INPTWY, INTWYZ, IPUVYZ, FINVWY, FLTVWY, ILNUYZ

Ezeknek tehát minden kettéosztása rendelkezik megoldással, általában nem sokkal.

Pont az ellenkezője is érdekes, azok az elemhatosok, amiket csak egy módon lehet kettéosztani, hogy két azonos alakzat legyen kirakható a részekből. Jópár ilyen is létezik. Érdekes, hogyha az előbbi képen látható készletben az F-et lecseréljük a V-re, akkor csak egy megoldásos készletet kapunk:

Pento7_LNPVXZ.jpg

Szintén egy megoldásos készletek még:

FILTUZ, FILTVW, FINTUW, FINTUX, FINUVX, FINVWX, FINVXZ, FIPTVX, FIPTWX, FIPTXZ, FITUVW, FITUXY, FLNUWX, FLUWXZ, FTVWXY, FVWXYZ, ILNXYZ, ILPTUX, ILPTWX, ILTUWZ, INPTWX, INTUVX, INTUWX, INVWXY, INWXYZ, IPTUWZ, IPTUXY, IPTVXY, IPVXYZ, IUVXYZ, LNTVWX, LNTWXZ, LNUVWX, LPTUWX, LPVWXZ, NTUVXZ, NTVXYZ, NVWXYZ, PTVWXZ, TUWXYZ, TVWXYZ

Ezek rendkívül nehéz feladványok! Tessék próbálkozni velük!

Létezik-e 3 egyforma alakzat, mind 3 elemből? Bizony létezik, pl:

Pento8_3x3Egyforma.jpg

Ez már olyan nehézségű feladvány, ami biztosan sok óra fejtörést okoz még a leggyakorlottabb játékosoknak is. De van még egypár olyan 9 elemből álló készlet, amiből 3 egyforma alakzat is kirakható. A legnehezebbek ezek közül:

FILNPTVXZ, FILNPTXYZ, FILNPUVWZ, FILNPUWXY, FILNPUXYZ, FILNTVWYZ, FILPTVXYZ, FILPUVWXY, FILPUVXYZ, FILTUWXYZ, FINPTVWXY, FINPTVXYZ, FINPTWXYZ, FINPUWXYZ, FINPVWXYZ, FINTUVWYZ, FLNPTVWXY, FLNPTVXYZ, FLNTUVWXZ, FLNTUWXYZ, FLPTUVWXY, FLTUVWXYZ, FNPTUWXYZ, ILNPTUVXZ, ILNTUVWXY, ILPTUVWYZ, INPTUVXYZ, LNPTUVWXY, LNPTUVWXZ, LNPTVWXYZ, LPTUVWXYZ

Mikor már azt hittem, nem nagyon van tovább mit vizsgálni, rájöttem, hogy a két pentominós feladványt lehetne ötvözni! Vajon van-e olyan elemhatos, amiből 3 egyforma alakzatot is ki lehet rakni és 2 egyformát is? Erre is igenlő a válasz. Meglepő módon az összes elemkészlet, amiből 3 egyforma kirakható, alkalmas 2 egyforma létrehozására is. Pl. feljebb látható az ILNTVY elemekből alkotott 3 egyforma alakzat, most következzen ugyanezekből 2 egyforma:

Pento9_3x2Egyforma.jpg

Na, mot már kicsit kezdem úgy érezni magam, mint Forrest Gump rákhorgász barátja, amikor mesélte, hogy miket lehet készíteni rákokból. (Aki nem látta itt megnézheti a jelenetet. Érdemes az egészet, de 3:10-től kezdődik, amire gondoltam.) Úgyhogy egyelőre ennyi. Rákból más már nincs, de pentominókból még van :)

Szólj hozzá!

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr295732715

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.