Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

  • Gál Péter F.: @ClownPepito: Felváltva kell lépni, és az veszt, aki már nem tud? Mondjuk, ez lehet egy 2 személye... (2018.06.05. 14:52) Szoliter – Háromszög tábla, kevés bábu
  • Gál Péter F.: @Könyveslány: Köszi, igyekszem. (2018.05.01. 11:20) Fémépítő ördöglakat
  • Gál Péter F.: @bbalint85: Ezekhez az elemzésekhez saját programokat használok. Létezik a BurrTools nevű remek me... (2018.03.04. 22:06) Hasábok félkockákból
  • Gál Péter F.: @Steve Rush: Tisztelt Steve! Nagyon örülök, hogy a matekórákra is betörnek az ördöglakatok! Szív... (2018.01.13. 20:53) Tangram készlet
  • gigabursch: Azt hittem, hogy kipörgetős az ördöglakat, de nem... (2017.09.04. 12:24) Borotvák

Hatszögek, keresztek, paradoxonok

2018.02.10. 19:34 Gál Péter F.

Paradoxonnak valami olyasmit hívunk, ami ellentmond a józan észnek, amit nem tudunk megmagyarázni a szokásos gondolkodási sémákkal. Egy látszólag tökéletes okfejtés is vezethet komoly ellentmondásra, ami megkérdőjelezi a használt logikai lépéseket vagy a kiinduló állítást.

Minden krétai hazudik? Akhilleusz nem érheti utol a teknősbékát? A nyílvessző sosem ér át a stadion túloldalára? Borotválkozhat-e a század borbélya? 

Talán mindenki hallott ezekről a híres paradoxonokról. A krétai Epimenidész híres mondata ma már talán könnyen magyarázható, Zénon ellentmondásai látszólag feloldhatók pl. végtelen matematikai sorokkal (már annak, aki elfogadja ezek létezését), Russell borbélya viszont úgy felforgatta a matematikát, hogy sok részét az alapoktól kellett újra építeni. A következőkben nem ekkora horderejű paradoxonokról lesz szó, de ezek is szépen szemléltetik, hogy mennyire könnyű becsapni az agyunkat.

Már többször találkoztunk a blogon paradox átdarabolásokkal. Ilyenek voltak a tangramparadoxonok  vagy a pentominó átdarabolások. Lehetetlen pakolásokra voltak példák a dobozparadoxonok, és akár bűvésztrükknek is beillett a kártyaparadoxon

A könyvecskés játéksorozatom bővítésekor mindig szeretnék valami újabb, érdekes témát megjeleníteni. Így született meg a Hexagon paradoxon:

hexagonparadoxon_in.jpg

A feladat a látszólag teli lyukba beilleszteni még a kis hatszöget is.

A könyv kívülről:

hexagonparadoxon_out.jpg

Ezt a hatszöges paradoxont más formában még nem láttam megvalósítva. Mint játék nem vészesen nehéz és  érdekesen szemlélteti a területátalakítási paradoxonokat.

Játékként komolyabb kihívás a latin kereszt átdarabolása göröggé. Nagyon kicsi az eltérés a két kereszt vastagsága között, így ez is tekinthető paradoxonnak, hisz egy hosszabb szárú kereszt alakul röviddé.

greektolatin_in.jpg

A játék mindössze 7 elemből áll. Ebből a 7 elemből ki lehet rakni mindkét keresztet. A hét elem nem tűnik soknak, de a fura alakjuk miatt és mivel nagyon sok a hasonló méretű oldal, meglepően nehéz feladványokat kaptunk. (Igazából a játék még nehezebb, ha nem a könyvben a keretekben rakjuk ki a kereszteket, hanem az asztalon, mindenféle segítség nélkül.)

Kívülről:

greektolatin_out.jpg

De, ezeknek az átdarabolásoknak több magyar matematikai vonatkozása is van.

Bolyai Farkas bizonyította be, hogy az azonos területű sokszögek véges sok vágással egymásba darabolhatók. Az ő bizonyítása ad módszert az átdarabolás elvégzésére, azonban korántsem eredményez "szép" végeredményt. Nem foglalkozik az elemek minimális számával sem alakjával. Így tőle nem tudhattuk meg, hogy hogyan is érdemes egy, a fentiekhez hasonló játékot tervezni. Vannak erre módszerek, de egyáltalán nem lezárt és megoldott területe ez a matematikának. Nagyon kevés esetben tudjuk a szükséges minimális elemszámot. A fenti két játék átdarabolását Gavin Theobald alkotta. Számos átdarabolásos probléma jelenleg ismert legjobb megoldása az ő nevéhez fűződik. (Sajnos, a honlapja jelenleg elérhetetlen, remélem ismét élővé válik a közeljövőben.)

A közelmúlt magyar matematikai eredménye a "kör modern négyszögesítése". Laczkovich MIklós 1989-ben bebizonyította, hogy egy négyzetet fel lehet vágni véges sok darabra úgy, hogy ezeket a darabokat máshogy összerakva kört kapjunk. (A darabok inkább halmazokként értelmezhetők, nem megfogható geometriai alakzatok. Sajnos, így ebből nem lesz játék.) Laczkovich ezzel egy 60 éves nevezetes problémát oldott meg, az un. Tarski sejtést.

És, ha már Tarski neve szóba került, nem mehetünk el említés nélkül a mai matematika talán egyik legmeghökkentőbb eredménye mellett. A Banach-Tarski paradoxon szerint egy gömb feldarabolható véges sok darabra úgy, hogy a darabokból összerakható lesz két ugyanakkora gömb (most sem konkrétan megfogható testek lesznek a darabok)! Tehát egy gömbből lesz kettő ugyanakkora! Hihetetlen? Az hát... Annyira, hogy Tarskiék sem akarták elfogadni ezt az eredményt, sokkal inkább a használt módszerek hibájának tartották. De a matematikus társadalom megegyezett, hogy a módszerrel nincs semmi probléma, ilyen furaságokra vezet, ha tágan értelmezzük az átdarabolás fogalmát. Úgyhogy ma már nem is Banach-Tarski paradoxonnak hívjuk ezt a jelenséget, hanem inkább tételnek.

 

Szólj hozzá!

Címkék: könyv pakolás paradoxon 2d összerakó

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr9813651348

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.