Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

  • Gál Péter F.: @b.pal: Elég hosszú a zsinór? A fotó csalóka, próbáld hosszú zsinórral! (2018.11.29. 10:04) Mozgó csomó – filléres ördöglakat
  • Gál Péter F.: @ClownPepito: Felváltva kell lépni, és az veszt, aki már nem tud? Mondjuk, ez lehet egy 2 személye... (2018.06.05. 14:52) Szoliter – Háromszög tábla, kevés bábu
  • Gál Péter F.: @Könyveslány: Köszi, igyekszem. (2018.05.01. 11:20) Fémépítő ördöglakat
  • Gál Péter F.: @bbalint85: Ezekhez az elemzésekhez saját programokat használok. Létezik a BurrTools nevű remek me... (2018.03.04. 22:06) Hasábok félkockákból
  • Gál Péter F.: @Steve Rush: Tisztelt Steve! Nagyon örülök, hogy a matekórákra is betörnek az ördöglakatok! Szív... (2018.01.13. 20:53) Tangram készlet

Érinthetetlen pentominók

2018.12.02. 16:55 Gál Péter F.

Jó régen, de foglalkoztunk már a pentominó elemek elhelyezésével egy sakktáblára. Igazán nem egyszerű feladat a 12 elem elhelyezése. Főleg akkor, ha előre meghatározzuk, a 4 lyuk elhelyezkedését. 

Sokkal kevésbé ismert probléma a pentominó elemek elhelyezése úgy, hogy az elemek nem érintkezhetnek egymással sem oldalnál, sem sarkon. Nyilván mind a 12 elemet nem lehet elhelyezni egy sakktáblára ilyen megkötéssel. De akkor mennyit lehet?

Egy kis próbálkozással 5 elemet könnyen elhelyezhetünk érintkezés nélkül a táblán:
imgp2964.jpg

(Bár több pentominó készletem is van, valamint sakktábla is akad pár, de valahogy egyiket sem a másikhoz méretezték. Így a fotón is pontatlan az elhelyezés. Remélem azért kivehető az elemek állása és pozíciója).

Nem nehéz észrevenni, hogy az F-et közelebb hozva a sarokhoz középen kialakul egy viszonylag nagy hely, ahova pont befér a Z elem. Így 6 elemet is fel tudtunk rakni:

imgp2965.jpg

Ennek az elemkészletnek viszonylag sok megoldása van. Jóval nehezebb elrendezni olyan 6 elemet, amiknek (a szimmetriáktól eltekintve) csak egy megoldása létezik. Egy ilyen, az FNPVXZ látható következő képen.

imgp2967.jpg

Ez az elhelyezés nem helyes, hisz a középső Z elem 4-et is érint a táblán levők közül. Próbálj találni egy jó megoldást!

Hasonlóan egy megoldással rendelkezik az NPVWXZ elemhatos is.

Mindössze két megoldása van az FNPTWX, FNVWXY, FPVWXY, FNPTXZ, NPTWXZ, FNTXYZ, FPVXYZ, NTWXYZ és a PVWXYZ készleteknek.

Az ilyen feladványoknál adódik, hogy az elemeket minél közelebb vigyük a sarkokhoz. Meg tudjuk nehezíteni a feladványok megoldását, ha a sarkokat kizárjuk a táblából, tehát oda nem helyezhetünk elemeket. Az alábbi fotón gyalogokat tettem a sarkokba. Egy nagyon gyenge kísérlet is látható az FNPTWX elemek elhelyezésére.

imgp2968.jpg

Az előbb ezt az elemkészletet felsoroltam a 2 megoldásosok között. Abból nem következik, hogy a sarkokat kivéve is lerakhatók, de ez egy olyan speciális készlet, ami így is megoldható de csak egy megoldással rendelkezik.

Hasonlóan egy megoldása van ezen a táblán az FLPTVW, FILPVX, ILPTVX, FNPTVX, ILNPWX, FINTVY, INPVXY, NPTVXY, FPTWXY, NPTWXY, LPTVWZ, FILPXZ, FNPTXZ, ILPWXZ, NPTWXZ, FNPXYZ,
IPTXYZ, NPTXYZ és a NPWXYZ készleteknek.

Mi lesz, ha a sarkokat még jobban levágjuk, ha mindenhonnan 3-3 mezőt vágunk ki? Ekkor már 6 elemet nem lehet elhelyezni érintés nélkül a táblán. Az egyik egy megoldásos 5 elemű készlet az FNTXZ, ami a következő fotón látszik.

imgp2979.jpg

Ezen a táblán még egy megoldásos készletek: FLTVX, FLTWX, ILTWX, FNTWX, FTVWY, FLTXY, FTWXY, FNVXZ, FNWXZ, LTWXZ, NVWXZ, PVWXZ, LNTYZ, LVWYZ, NVWYZ, TVWYZ, LTXYZ, FVXYZ, LVXYZ, TVXYZ, NWXYZ és a VWXYZ.

Személy szerint azt gondolom, hogy sokszor még az 5 elemű feladványok is túl nehezek. Ha az olvasó megpróbálja valamelyik fenti feladványt megoldani, rájön, hogy általában nem 5-10 percig tartanak, sokszor pedig ennél nincs több türelme egy játékosnak. 

Elhatároztam, hogy készítek 4 elemű feladványokat is. Hogy azért mégse legyenek túl könnyűek, egészen speciális táblát használtam hozzá, olyat aminek semmilyen szimmetriája nincs. A következő képen ezt a táblát láthatjátok egy egy megoldásos elemkészlettel. Az ilyen speciális táblákat legkönnyebb kinyomtatni, így az elemeim méretéhez tudtam alakítani.

imgp2982.jpg

A képen az N elemet már nem lehet a táblára tenni. A másik hármat is máshogy kell elrendezni. 

Ezen a táblán egy megoldásos készletek még: INTW, LVWX, NVWX, VWXY, INTZ, LVXZ, NVXZ és a VXYZ.

Érdekes tábla a "döntött négyzet". Ebből az 5 egység oldalúra felrakható 4 elem érintés nélkül. A következő képen az egyik egy megoldásos készlet látható.

imgp2983.jpg

Még egy megoldásos készletek: ILTX, NTVX, LNTY, IPTY, LTVY, FLNZ, FNTZ, FTVZ, FLWZ, FLYZ, NTYZ és a TWYZ.

Nehezítsünk egy kicsit! A fentihez hasonló aszimmetrikus tábla 5 elemhez az egyik egy megoldásos készlettel:

imgp2984.jpg

Az összes 1 megoldásos készlet a fentin kívül: LNPVX, LNTVY, NPTVY, LPTXY, LPVXY, LNPXZ, NPVYZ, NPWYZ, LPXYZ és az NPXYZ. 

Ha valaki inkább az eddigieknél is nehezebb feladványokat keres, akkor a 7 vagy több elemet igénylő táblák közt kell körülnéznie. A normál 8x8-as sakktáblára már nem lehet 7 elemet elhelyezni. Ahhoz közel áll méretben a 7x9-es tábla, de az sem jó 7 elemhez.

A 8x9-es tábla már elég nagy, erre fel lehet tenni 7 elemet érintkezés nélkül! Gondolom, nem árulok el nagy titkot, de a fenti eredmények egy számítógépes program felhasználásával születtek. Kb. ennél a méretnél ér véget a programom hatékony működése, így itt már egyelőre nem tudtam kiértékelni az összes lehetséges 7 elemű készletet. Az eddig vizsgáltak közül mindnek elég sok megoldása van. Néhány ezek közül: FINPTUV, FINPTUV, FLNPTUV, ILNPTUV, FILNPTW. 

Megpróbáltam még több elemű készletek között is vizsgálódni. A 9x9-es táblára 8 elemet lehet felrakni érintés nélkül (legalábbis eddig nem találtam jó 9 elemű készletet.) A nyolcasok között van pár, aminek meglepően kevés megoldása van csak. Ezek igazán nehéz feladványok! Az eddig talált legkevesebb megoldású a FILNTUVW készlet:

imgp2985.jpg

Ezeknek az elemeknek mindössze 2 megoldása van. Ami lényegében csak 1, hiszen az U elemet 180 fokkal elforgathatjuk, biztos, hogy akkor sem ér hozzá semmi.

Tíznél kevesebb megoldással rendelkeznek még a FLNPTUVW, FILPTUVX, FINPTUVX, ILNPTUWX és az FILNPVWX elemek. De ez nem végleges eredmény, lehet, hogy a későbbiekben más készletekről is kiderül, hogy jók, vagy jobbak mint a most említettek.

Jelenleg itt tartok a vizsgálatokkal. A felhasznált programom nem speciálisan erre a célra íródott, egy régebbi megoldóprogramot egészítettem ki új vizsgálati feltételekkel. Valószínű, hogy erre specializált program gyorsabban tudna lefuttatni hasonló elemzéseket és nagyobb készletekről is tudna információt szolgáltatni. Örömmel venném, ha valaki foglalkozna a kérdéssel, és be tudna számolni szép eredményekről!

Aki viszont nem programozni akar, annak javaslom, hogy a kitartásától függően próbáljon megoldani pár érinthetetlen feladványt!

 

Szólj hozzá!

Címkék: érinthetetlen összerakó kirakó pentomino

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr3614410824

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.