Ördöglakat

Kétkezi logikai játékok a könnyűtől a szinte lehetetlenig.

Friss topikok

Tangram azonosságok

2021.04.11. 15:55 Gál Péter F.

Ha jól tudom, még nem vizsgálták, hogy milyen módon lehet azonos alakzatokat összeállítani a kínai tangram elemeiből. Most megkísérlem e probléma teljes elemzését.

Más játékok esetén már többször volt szó a blogon erről a problématípusról. De még a négyzetekből felépülő poliominók is tartogatnak megoldatlan problémákat.

A kínai tangram hét darab viszonylag egyszerű elemből áll:

kinai.png

Nem reménytelen az összes eset vizsgálata.

Minden elem a legkisebb, zöld háromszög többszörözésével áll elő, kettőt vagy négyet kell egymáshoz erősíteni. Tekintsük ezt a kis háromszöget egységnek, így az elemek összesen 16 egység területűek. Meg is betűzöm az elemeket, hogy a későbbiekben egyszerűbb legyen rájuk hivatkozni. A betűzés követi a Tangram készletnél használtat:

kinaibetu.png

Azt fogjuk vizsgálni, hogy valahány elemet elhagyva (esetleg egyet sem), a maradékokból kirakható-e két egyforma alakzat. 

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor minden elemet felhasználunk!

16 egység

Könnyen észrevehető, hogy a fenti ábrákon más látszik is egy megoldás. A két nagy háromszög (II) és a többi elem (AABCD) két egybevágó háromszöget alkotnak. Hogy még világosabb legyen, egy újabb rajzon szemléltetem:

II - AABCD

t16_ii.png

Lehet-e máshogy ket csoportra osztani az elemeket, hogy újra kirakható legyen belőlük két azonos alakzat? 

Az össz terület 16 egység, így egy csoport 8 egységnyi kell legyen. A 4 egységnyi I elemek külön csoportba kerülnek, az egyik mellé válasszunk még annyi elemet, hogy 8 egységnyit adjanak. A 2 legkisebb háromszög területe 1, vagyis páratlan, az összes többi elemé pedig páros. Így, a két A elem egy csoportba kell kerüljön. Legyen ez a 2. csoport. Az elsőbe tegyük az I mellé az BC-t:

BCI - AADI

A másik csoportban levő két A elem nagyon megkönnyíti a dolgunkat. Kis próbálkozással sikerül azonos alakzatot kirakni a BC és az AAD elemekből:

t8_bc_aad.png

Ezekhez akárhogy, de egyformán hozzáillesztve az I elemet egyforma alakzatokat kapunk. Pl.:

t16_bci.png

A C elem helyett tegyük a D-t az első csoportba:

BDI - AACI

Hasonlóan az előbbihez, most is kirakható azonos alakzat a BD-ből és az AAC-ből:

t8_bd_aac.png

Az I-t egyformán hozzájuk illesztve egyforma alakzatokat kapunk.

Sejthető, hogy az utolsó összes elemet felhasználó eset sem lesz bonyolultabb.

CDI - AABI

t8_cd_aab.png

Ezzel az összes elemet felhasználó esetekkel végeztünk is. Ezek nem voltak túl nehéz játékok, inkább kisebbeknek ajánlhatók, akik most ismerkednek a geometriai formákkal és az egybevágó alakzatokkal.

Haladjunk sorban, következzenek azok az esetek, amikor nem használunk fel minden elemet. Ha a legkisebb háromszöget hagyjuk el, akkor összesen 15 egységnyi terület marad, ez nem osztható kétfelé. Hagyjunk el 2 egységnyi területet.

14 egység

Kettéosztva egy csoportba 7 egységnek kell kerülni, ami páratlan. Ez csak úgy lehet, ha az egy egységnyi A elemből mindkét csoportba teszünk egyet-egyet. Vagyis elhagyni csak a 2 egységnyi B, C vagy D elemek közül tudjuk az egyiket. Tehát mindkét csoportba kerül A és az I elem és még a 2 egységnyiek közül valamelyik. De nézzük a következő ábrát:

t6_ossz.png

Kirakható ugyanaz az alakzat akármelyik 2 egységnyi elemből és a kis háromszögből. Melléjük rakva egyformán az I elemet már meg is oldottuk az összes 14 területű esetet

12 egység 

 Hogy 12 egységnyi terület maradjon, ahhoz négy egységnyi elemet kell elvennünk az összesből. Ezt elég sokféle módon megtehetjük.

I elemet elhagyva

Marad egy I elem, ami 4 egység, és ehhez kell még 2 egységnyi elemet párosítani. Erre is több lehetőségünk van:

AAI - BCD

Ez az elrendezés jó feladványnak is. Nem túl nehéz, de nem is teljesen egyszerű. Egy lehetséges megoldás:
t12-aai-bcd.png
Próbálj más megoldásokat is találni!

Az I elem mellé 2 egységnyi elemet 3 módon választhatunk:

BI - AACD

Ez is egy érdekes felosztás. Találj másik megoldást is az alábbin kívül:

t12-bi-aacd.png

CI - AABD

Találj az alábbin kívül egy szimmetrikus megoldást is erre a felosztásra!

t12-ci-aabd.png

DI - AABC

Erre is létezik más megoldás is!

t12-di-aabc.png

12 egység területet kapunk akkor is, ha két 2 egységnyi elemet hagyunk el. Ezt 3 módon is megtehetjük és mindhárom esetben a két csoportra bontás már egyértelmű. A két A elemnek egy csoportba kell kerülni, hogy páros legyen a terület, a két I elemnek viszont külön csoportba. A két A elemből bármelyik két egységnyi elemet össze tudjuk állítani, és így az I mellé helyezve magától értetődő a megoldás. Pl:

BC elemeket elhagyva: AAI - DI

t12-aai-di.png

Ugyanez a módszer működik bármely két két egységnyi elem elhagyásakor.

AA elemeket elhagyva

A 12 egység terület megkapásához elhagyhatjuk a két A elemet is és az egyik 2 egységnyit. Ekkor marad 2 I elem és 2 2 egységnyi. Nyilván a két I külön csoportba kerül. A kérdés az, hogy előállítható-e ugyanaz az alakzat egy-egy I és két különböző 2 egységnyi elemmel.

t12-aax-di.png

Első pillantásra egyértelműnek tűnik, hogy ez nem lehetséges. De vajon tényleg? Láttunk már olyan játékot, amikor ehhez hasonló feladványnak volt megoldása. Ennek meggondolását az olvasóra bízom.

10 egység

A 10 egységnyi területet kettébontva két 5-5 egységnyi csoportot kapunk. Ez csak úgy lehetséges, ha az a két A elemből mindkét csoportba kerül. Így ezek nem hagyhatók el.

Elhagyható viszont az összes 2 egységnyi elem. Ekkor mindkét csoportban marad egy I és egy A elem. Vagyis ez az eset teljesen egyszerű.

Elhagyható még az I elem és egy a két egységnyiek közül.

IB elemek elhagyva

Ekkor a ketté csoportra osztás csak egy módon történhet:

AI-ACD

Így egy nem túl nehéz, de azért nem teljesen egyszerű feladványt kaptunk. Egy megoldása:

t10-bi.png

IC elemek elhagyva

AI-ABD

Hasonlóan az előzőhöz egy lehetséges meegoldás:

t10-ci.png 

ID elemek elhagyva

 

AI-ABC

t10-di.png

8 egység

Most inkább azt vizsgáljuk, hogy melyik elemek maradhatnak. 
Ha a két I elem marad, akkor ezzel kész is vagyunk, ezek egyformák.

Ha egy I elem marad, akkor ez alkotja az egyik csoportot, a másikat kell csak meghatároznunk. Könnyen belátható, hogy akármelyik 2 egységnyi elemmel és a 2 kis háromszöggel kirakható az I elem. Így ezek jó megoldást adnak.
De vajon kirakható-e a B, C, D elemek közül kettővel? Ez is könnyen láthatóan nem lehetséges.

Marad az az eset, amikor a két II-t hagyjuk el.

II elhagyva

A két A elemnek egy csoportba kell kerülni, hogy ne legyen páratlan semmelyik csoport területe. Ha pedig a két A elem együtt van, akkor nagyban segít a kirakásokban. Három eset létezik, a két AA mellett lehet a B, C, D elemek valamelyike. Kis próbálkozással akármelyik bontás könnyen megoldható. Példaként lássuk:

AAB - CD 

t08-aab-cd.png

A másik két bontás is megoldható és hasonló nehézségű.

6 egység

Ha hat egység marad, akkor a két csoport 3-3 egységnyi lesz. Ez csak úgy lehetséges, ha a B, C, D elemek valamelyikét párosítjuk az A elemmel.

Könnyen belátható, hogy minden lehetséges eset megoldható. A 14 egységnyi bontáskor már szerepelt is egy olyan alakzat, amit mindhárom elemkombinációval ki lehetett rakni.

 

4 egység

Ez csak akkor lehet, ha az egyik "csoport" a B, C, D elemek valamelyike, a másik pedig a két A elem. Ez természetesen mindig megoldható. 

Konklúzió

Egyszer meg kellett csinálni ezt a vizsgálatot :) Kicsit kevesebb érdekes eredmény jött ki belőle, mint amire eredetileg számítottam, de van pár használható feladvány köztük.

Felnőttek is jól szórakozhatnak az összes elemet tartalmazó feladványokkal, vagy a 12 egységnyiekkel. Ezek akár már nagyobb gyerekekkel is kipróbálhatók. A feladat megfogalmazásával is változhat a nehézsége. Ezt az egész témát nagyon el tudnám képzelni egy-két könnyedebb matekórán. Sok geometriai fogalom megismertethető, felfedeztethető játékos módon. Ha meg még otthon azt sem tesszük hozzá, hogy ez matek, akkor a kisebb gyerekek is találkozhatnak rendhagyó kirakós játékokkal!

 

 

Szólj hozzá!

Címkék: tangram 2d összerakó összerakó azonosság

A bejegyzés trackback címe:

https://ordoglakat.blog.hu/api/trackback/id/tr7216496804

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.
süti beállítások módosítása