A különböző tudományokban gyakran előfordul, hogy egészen egyszerűen feltehető kérdésekre csak nagyon nehezen és bonyolultan lehet megadni a pontos választ. Esetleg nem is ismert a minden igényt kielégítő megoldás. És itt most nem olyan filozófiai, teológiai kérdésekre gondolok, mint hogy "Mi az élet értelme?" vagy "Van-e élet a halál után?". Ezeknél sokkal egyértelműbb problémák is megoldatlanok.
A matematika iránt érdeklődők biztosan több híres, megoldásra váró kérdést fel tudnak sorolni (ikerprímek problémája, Goldbach-sejtés, és hogy közeledjünk a bloghoz: "Hány hálója van egy szabályos testnek?", Hány n négyzetből álló poliominó létezik?, stb.). De ezeknél sokkal "hétköznapibb" feladványok is ki tudnak fogni még komoly tudósokon is. (Nem mintha komoly tudósokon olykor nem fogna ki pl. egy kenyér megvajazása is :))
Ebben a bejegyzésben optimális pakolásokról lesz szó. Szabályos vagy majdnem szabályos matematikai alakzatokat helyezünk más, hasonló alakzatokba, és keressük a legjobb elrendezéseket. Pl. három egyforma szabályos háromszöget szeretnénk elhelyezni egy négyzet alakú keretben:
Két kérdés is felmerül: mekkora legyen a négyzet és hogyan helyezkedjenek el a belsejében a háromszögek, ha a lehető legkisebb keretet szeretnénk?
Szerintem meglepő a válasz.
A következő kép mutatja az optimális elrendezést:
Fura, hogy a két háromszög, ami oldallal érintkezik a négyzettel, nem ér ki a négyzet csúcsáig.
Nem könnyű kiszámolni a négyzet oldalát, körülbelül 1,48 szorosa a háromszög oldalának. Játékként elkészítve már nem kell a számolással bajlódni, csak bepakolni a háromszögeket. Bár kiszámolni keveseknek sikerülne ezt a megoldást, a kész darabokat valószínűleg mindenki be tudja pakolni.
Ha jól tudom, a fenti elrendezés csak a ma ismert legjobb, nincs bizonyítva, hogy ennél jobb nem létezik. Tehát nem tudjuk, hogy van-e kisebb négyzet, amibe valahogy máshogy be lehet rakni a három háromszöget. Ez a megjegyzés az összes következő "játékra" is igaz.
A négyzetbe V alakú elemek pakolása is érdekes. (pontosabban az elhelyezendő alakzatok L triominók):
A jelenleg ismert legjobb megoldás most is elég meglepő:
Ha az L rövidebb oldala 1 egység, akkor a négyzet oldala kb. 3,62 egység.
Ha 6 L-t kell bepakolni egy négyzetbe, az már játéknak is érdekes:
A megoldás:
A négyzet oldala kb. 4,95-szöröse az L rövidebb oldalának.
Talán még meghökkentőbb, ha a keret L alakú. Nehezebben átlátható és szokatlanabb, mint a négyzet alakú keret. Szép megoldásra vezet, ha négy félnégyzetet akarunk elhelyezni benne.
Látszik, hogy az L kicsi kisebb, mint a háromszög rövidebb oldala, kb. 0,96-szorosa.
Körbe is lehet pakolni! Szép feladvány az 5 db L-et elhelyezni:
A kör sugara kb. 2,64-szorosa az L rövid oldalának.
Ha ugyanezeket az L-eket egy háromszögben kell elhelyezni, akkor egész megdöbbentően aszimmetrikus megoldást kapunk (amit most nem mutatok meg, érdemes kipróbálni). Az elemek:
A háromszög rövidebb oldala 6,24-szerese az L rövidebb oldalának.
Amikor először találkoztam ezzel a problémakörrel, rögtön az jutott eszembe, hogy melyikből lehetne jó játékot készíteni. Akkor már ismertem jópár pakolós játékot, pl. amikor pentominókat kell kicsi helyekre elrakodni. Tudtam, hogy 4-5 elem már kellően nehéz tud lenni, remek feladványok alkothatók ilyen módon. El is készíttettem a fent látható alakzatokat. Lézerrel vannak vágva, tized mm pontosak. Sajna az a tized mm is sokszor elég arra, hogy más megoldások is lehetségesek legyenek, ne csak az optimálisak. Így a fent bemutatottak közül nem mindegyikből született igazán nehéz játék. Ráadásul ez a vékony plexi keret rugalmas is annyira, hogy ici-pici erőltetéssel nem optimálisan is elhelyezhetőek legyenek az elemek. Azért érdemes kísérletezni ezekkel a formákkal! Ha a pontatlan kivitelezés tévútra is vezet, nem egyszerűen, de ki lehet számolni, hogy tényleg jó megoldáshoz jutottunk-e.
