Pár napja kaptam meg egy Hollandiában készülő, de angol nyelvű, fejtörőkkel foglalkozó újságot (CFF). Minden számban találok valami rendkívül érdekes játékot, igazán inspiráló újdonságot. Most is rögtön megakadt a szemem az egyik összerakó játékon. Annyira különlegesnek és újszerűnek tűnt, hogy azonnal el kellett készítenem:
A blog olvasóinak talán első pillantásra semmi különös nem látszik, hisz találkoztunk már összekapcsolódó kockákkal. Abban a bejegyzésben is több kockát mutattam be, mind 3 elemből állt. Az itt látható elemkészletből is kirakható egyszerre 3 kocka:
Mi adja mégis e készlet különlegességét? Lee Sallows zseniális ötlete és konstrukciója.
De közelítsük meg egy kicsit távolabbról a játékot!
Már az ókori (görögök) kínaiak ismertek bűvös négyzeteket. Több írásos emlék maradt fenn a Lo Shu négyzetről, amely 1-től 9-ig tartalmazza az egész számokat:
|
4 |
9 |
2 |
|
3 |
5 |
7 |
|
8 |
1 |
6 |
A bűvös négyzetek közös tulajdonsága, hogy a soraiban, oszlopaiban és az átlóiban található számok összege azonos. A Lo Shu-ban ez az összeg 15, de természetesen más összegek is elképzelhetők. Érdekes, hogy az 1-től 9-ig terjedő számokból lényegében csak egyféle bűvös négyzetet lehet alkotni, az összes tükrözésekkel és forgatásokkal átvihető a Lo Shu-ba.
Európába közel két évezred késéssel érkeztek meg a bűvös négyzetek, valószínűleg arab közvetítéssel. Az egyik leghíresebb és legszebb meglepő módon nem egy matematikus, hanem egy festő-grafikus nevéhez fűződik. Albrecht Dürer készítette a Melancolia I nevű bűvös négyzetet:
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Természetesen a sorok, oszlopok, átlók összege azonos, hisz ettől bűvös négyzet. Az 1-től 16-ig terjedő számokból készülő négyzetekben ez az összeg 34. De Dürer négyzetében nemcsak ezeken a helyeken bukkan fel a 34-es összeg. Mind a négy sarokban található számnégyes összege is ennyi, sőt a középső négyesé is. 34 a négy sarokban álló szám összege is. Az alsó sor közepén az 1514-es évszám pedig Dürer művének keletkezési dátumát mutatja.
A bűvös négyzeteknek hatalmas irodalma van. Számtalan algoritmus létezik különböző oldalhosszúságú négyzetek készítésére, egyre szebbek, és különlegesebbek látnak napvilágot. Sőt, már régóta nemcsak négyzet alakú bűvös „négyzetek” léteznek. Egészen különös formájú gráfok csúcsait is tekinthetjük bűvös négyzetnek, ha meghatározott élek mentén levő számok összege azonos.
Az viszont először Lee Sallowsnak jutott eszébe, hogy a számok helyett geometriai formák is szerepelhetnének a négyzetben. Ebben az esetben nem összeadni kell az egyes elemeket, hanem összerakni. Méghozzá úgy, hogy a sorokban, oszlopokban és átlókban álló elemekből ugyanaz az alakzat jöjjön ki. Az ilyen feladványokat Geomagic Square-nek nevezte el Sallows. Magyarul talán „geomágikus négyzet”-nek lehetne nevezni, de érzem, hogy kicsit döcög a fordítás. Ha van jobb ötlete valakinek, szívesen venném!
Lássunk egy példát, Lee Sallows alkotásai közül:
A fenti 9 hexominó pl. egy geomágikus négyzetet alkot. Minden sorában, oszlopában és átlójában álló 3-3 elemből ki lehet rakni ugyanazt az alakzatot. A következő képen a középső sor elemeiből már összeállítottam a „bűvös formát”, minden 3-asból ugyanezt kell létrehozni.
Ebből is látszik, hogy ennek a játéknak az elemek elrendezésén kívül is számos nehézsége van. Ha ismert az összerakandó alakzat, akkor sem egyszerű kirakni azt az összes lehetséges módon. Hát, még ha nem is tudjuk, hogy mi a „bűvös forma”!
A tisztesség kedvéért egy hexominós geomágikus négyzetet én is kitaláltam. A következő képen az elemek és az elrendezésük már adott, próbálja meg az olvasó megtalálni a „bűvös formát”!
És most térjünk vissza a bejegyzés elején bemutatott kockákhoz. Mint már bizonyára rájött az olvasó, a fent ismertetett elemek is alkalmasak geomágikus négyzet létrehozására. A kirakandó alakzat maga a kocka. Egy fotó, ahol jobban látszanak az elemek:
Ezen a képen az elemek elrendezése nem jó, így ez nem geomágikus négyzet. (Azt csak most vettem észre, hogy a fotón a G és a H elemet felcseréltem véletlenül. Egyébként ABC sorrendben láthatók.) A nagyon nehéz feladatokat kedvelők próbálkozzanak meg a helyes négyzet kialakításával!
Lee Sallows nemrégiben létrehozott egy fantasztikus honlapot, ahol bemutat jópárat a saját találmányai közül:
http://geomagicsquares.com/gallery.php
Nagyon javaslom a galéria végiglapozását! Egész megdöbbentő formákból készült sok-sok fura tulajdonságú geomágikus négyzet szerepel ott. Sallows felvetett néhány problémát, amiket ő nem tudott megoldani. A honlapon történt megjelenésük után nem sokkal némelyiket megoldották mások, ezek láthatók a galéria végén.
Szerencsére mindig van új a nap alatt.
