Ha jól tudom, még nem vizsgálták, hogy milyen módon lehet azonos alakzatokat összeállítani a kínai tangram elemeiből. Most megkísérlem e probléma teljes elemzését.
Más játékok esetén már többször volt szó a blogon erről a problématípusról. De még a négyzetekből felépülő poliominók is tartogatnak megoldatlan problémákat.
A kínai tangram hét darab viszonylag egyszerű elemből áll:
Nem reménytelen az összes eset vizsgálata.
Minden elem a legkisebb, zöld háromszög többszörözésével áll elő, kettőt vagy négyet kell egymáshoz erősíteni. Tekintsük ezt a kis háromszöget egységnek, így az elemek összesen 16 egység területűek. Meg is betűzöm az elemeket, hogy a későbbiekben egyszerűbb legyen rájuk hivatkozni. A betűzés követi a Tangram készletnél használtat:
Azt fogjuk vizsgálni, hogy valahány elemet elhagyva (esetleg egyet sem), a maradékokból kirakható-e két egyforma alakzat.
Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor minden elemet felhasználunk!
16 egység
Könnyen észrevehető, hogy a fenti ábrákon más látszik is egy megoldás. A két nagy háromszög (II) és a többi elem (AABCD) két egybevágó háromszöget alkotnak. Hogy még világosabb legyen, egy újabb rajzon szemléltetem:
II - AABCD
Lehet-e máshogy ket csoportra osztani az elemeket, hogy újra kirakható legyen belőlük két azonos alakzat?
Az össz terület 16 egység, így egy csoport 8 egységnyi kell legyen. A 4 egységnyi I elemek külön csoportba kerülnek, az egyik mellé válasszunk még annyi elemet, hogy 8 egységnyit adjanak. A 2 legkisebb háromszög területe 1, vagyis páratlan, az összes többi elemé pedig páros. Így, a két A elem egy csoportba kell kerüljön. Legyen ez a 2. csoport. Az elsőbe tegyük az I mellé az BC-t:
BCI - AADI
A másik csoportban levő két A elem nagyon megkönnyíti a dolgunkat. Kis próbálkozással sikerül azonos alakzatot kirakni a BC és az AAD elemekből:
Ezekhez akárhogy, de egyformán hozzáillesztve az I elemet egyforma alakzatokat kapunk. Pl.:
A C elem helyett tegyük a D-t az első csoportba:
BDI - AACI
Hasonlóan az előbbihez, most is kirakható azonos alakzat a BD-ből és az AAC-ből:
Az I-t egyformán hozzájuk illesztve egyforma alakzatokat kapunk.
Sejthető, hogy az utolsó összes elemet felhasználó eset sem lesz bonyolultabb.
CDI - AABI
Ezzel az összes elemet felhasználó esetekkel végeztünk is. Ezek nem voltak túl nehéz játékok, inkább kisebbeknek ajánlhatók, akik most ismerkednek a geometriai formákkal és az egybevágó alakzatokkal.
Haladjunk sorban, következzenek azok az esetek, amikor nem használunk fel minden elemet. Ha a legkisebb háromszöget hagyjuk el, akkor összesen 15 egységnyi terület marad, ez nem osztható kétfelé. Hagyjunk el 2 egységnyi területet.
14 egység
Kettéosztva egy csoportba 7 egységnek kell kerülni, ami páratlan. Ez csak úgy lehet, ha az egy egységnyi A elemből mindkét csoportba teszünk egyet-egyet. Vagyis elhagyni csak a 2 egységnyi B, C vagy D elemek közül tudjuk az egyiket. Tehát mindkét csoportba kerül A és az I elem és még a 2 egységnyiek közül valamelyik. De nézzük a következő ábrát:
Kirakható ugyanaz az alakzat akármelyik 2 egységnyi elemből és a kis háromszögből. Melléjük rakva egyformán az I elemet már meg is oldottuk az összes 14 területű esetet
12 egység
Hogy 12 egységnyi terület maradjon, ahhoz négy egységnyi elemet kell elvennünk az összesből. Ezt elég sokféle módon megtehetjük.
I elemet elhagyva
Marad egy I elem, ami 4 egység, és ehhez kell még 2 egységnyi elemet párosítani. Erre is több lehetőségünk van:
AAI - BCD
Ez az elrendezés jó feladványnak is. Nem túl nehéz, de nem is teljesen egyszerű. Egy lehetséges megoldás:
Próbálj más megoldásokat is találni!
Az I elem mellé 2 egységnyi elemet 3 módon választhatunk:
BI - AACD
Ez is egy érdekes felosztás. Találj másik megoldást is az alábbin kívül:
CI - AABD
Találj az alábbin kívül egy szimmetrikus megoldást is erre a felosztásra!
DI - AABC
Erre is létezik más megoldás is!
12 egység területet kapunk akkor is, ha két 2 egységnyi elemet hagyunk el. Ezt 3 módon is megtehetjük és mindhárom esetben a két csoportra bontás már egyértelmű. A két A elemnek egy csoportba kell kerülni, hogy páros legyen a terület, a két I elemnek viszont külön csoportba. A két A elemből bármelyik két egységnyi elemet össze tudjuk állítani, és így az I mellé helyezve magától értetődő a megoldás. Pl:
BC elemeket elhagyva: AAI - DI
Ugyanez a módszer működik bármely két két egységnyi elem elhagyásakor.
AA elemeket elhagyva
A 12 egység terület megkapásához elhagyhatjuk a két A elemet is és az egyik 2 egységnyit. Ekkor marad 2 I elem és 2 2 egységnyi. Nyilván a két I külön csoportba kerül. A kérdés az, hogy előállítható-e ugyanaz az alakzat egy-egy I és két különböző 2 egységnyi elemmel.
Első pillantásra egyértelműnek tűnik, hogy ez nem lehetséges. De vajon tényleg? Láttunk már olyan játékot, amikor ehhez hasonló feladványnak volt megoldása. Ennek meggondolását az olvasóra bízom.
10 egység
A 10 egységnyi területet kettébontva két 5-5 egységnyi csoportot kapunk. Ez csak úgy lehetséges, ha az a két A elemből mindkét csoportba kerül. Így ezek nem hagyhatók el.
Elhagyható viszont az összes 2 egységnyi elem. Ekkor mindkét csoportban marad egy I és egy A elem. Vagyis ez az eset teljesen egyszerű.
Elhagyható még az I elem és egy a két egységnyiek közül.
IB elemek elhagyva
Ekkor a ketté csoportra osztás csak egy módon történhet:
AI-ACD
Így egy nem túl nehéz, de azért nem teljesen egyszerű feladványt kaptunk. Egy megoldása:
IC elemek elhagyva
AI-ABD
Hasonlóan az előzőhöz egy lehetséges meegoldás:
ID elemek elhagyva
AI-ABC
8 egység
Most inkább azt vizsgáljuk, hogy melyik elemek maradhatnak.
Ha a két I elem marad, akkor ezzel kész is vagyunk, ezek egyformák.
Ha egy I elem marad, akkor ez alkotja az egyik csoportot, a másikat kell csak meghatároznunk. Könnyen belátható, hogy akármelyik 2 egységnyi elemmel és a 2 kis háromszöggel kirakható az I elem. Így ezek jó megoldást adnak.
De vajon kirakható-e a B, C, D elemek közül kettővel? Ez is könnyen láthatóan nem lehetséges.
Marad az az eset, amikor a két II-t hagyjuk el.
II elhagyva
A két A elemnek egy csoportba kell kerülni, hogy ne legyen páratlan semmelyik csoport területe. Ha pedig a két A elem együtt van, akkor nagyban segít a kirakásokban. Három eset létezik, a két AA mellett lehet a B, C, D elemek valamelyike. Kis próbálkozással akármelyik bontás könnyen megoldható. Példaként lássuk:
AAB - CD
A másik két bontás is megoldható és hasonló nehézségű.
6 egység
Ha hat egység marad, akkor a két csoport 3-3 egységnyi lesz. Ez csak úgy lehetséges, ha a B, C, D elemek valamelyikét párosítjuk az A elemmel.
Könnyen belátható, hogy minden lehetséges eset megoldható. A 14 egységnyi bontáskor már szerepelt is egy olyan alakzat, amit mindhárom elemkombinációval ki lehetett rakni.
4 egység
Ez csak akkor lehet, ha az egyik "csoport" a B, C, D elemek valamelyike, a másik pedig a két A elem. Ez természetesen mindig megoldható.
Konklúzió
Egyszer meg kellett csinálni ezt a vizsgálatot :) Kicsit kevesebb érdekes eredmény jött ki belőle, mint amire eredetileg számítottam, de van pár használható feladvány köztük.
Felnőttek is jól szórakozhatnak az összes elemet tartalmazó feladványokkal, vagy a 12 egységnyiekkel. Ezek akár már nagyobb gyerekekkel is kipróbálhatók. A feladat megfogalmazásával is változhat a nehézsége. Ezt az egész témát nagyon el tudnám képzelni egy-két könnyedebb matekórán. Sok geometriai fogalom megismertethető, felfedeztethető játékos módon. Ha meg még otthon azt sem tesszük hozzá, hogy ez matek, akkor a kisebb gyerekek is találkozhatnak rendhagyó kirakós játékokkal!
